3.随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义
设X是随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P?X?x?称为随机变量X的分布函数. 注记：P?x1?X?x2??P?X?x2??P?X?x1??F(x2)?F(x1).
(2)分布函数的性质
①F(x)单调不减.
事实上，若x?y，则?X?x???X?y?，于是P?X?x??P?X?y?. 注记：不能写为单调递增！ ②0?F(x)?1，且
Fx(?)，0F(??)?limF(x)?1. F(??)?limx???x???证明较为复杂，不过几何上很直观. ③F(x)右连续.不过未必右连续. 证明也较为复杂.
④P?X?x0??limF(x)
x?x0?证明也较为复杂.
证明也较为复杂.但据此可得：P?X?x0??P?X?x0??P?X?x0??F(x0)?F(x0?).
(3)离散型随机变量的分布函数
假设离散型随机变量X的分布律为P?X?xk??pk，则F(x)?反之，pk?F(xk)?F(xk?).
xk?x?pk.
16
4.连续型随机变量及其概率密度
(1)连续型随机变量的定义
设X为随机变量，F(x)为其分布函数.如果存在一个非负可积函数f(x)，使得
F(x)??xf(t)dt.则称X为连续型随机变量.其中，f(x)称为X的概率密度函数，简称概
??率密度.
(2)概率密度函数的性质
①f(x)?0 ②
?????f(t)dt?1
③P?x1?X?x2??P?X?x2??P?X?x1??F(x2)?F(x1) ④若f(x)在x?x0连续，则F?(x0)?f(x0)
(3)连续型随机变量分布函数的性质
①F(x)是连续的.
②P?X?x0??F(x0)?F(x0?)?0
(4)几种常见的连续型随机变量
①均匀分布
?1 X在区间?a,b?上取值，其概率密度函数为f(x)???b?a,a?x?b
??0,其它??0，其它这样，其分布函数为F(x)???b?a,a?x?b.
?x?a??1,x?b②指数分布
17
??e??x,x?0(a)X在区间?0，.称其服从参数为?的+??上取值，其概率密度函数为f(x)???0,其它0,其它??指数分布.其分布函数为F(x)??x??t. ??x?edt?1?e???0(b)指数分布的无记忆性
设X服从参数为?的指数分布.s?0，t?0，则PX?s?tX?t?P?X?s?. 事实上，
???1?eP?X?s?t?1?P?X?s?t?1?????e??s?PX?sP?X?s?tX?t????????tP?X?t?1?P?X?t?1??1?e?
③正态分布
(a)X在区间???,???上取值，其概率密度函数为f(x)???(s?t)1e2???x???22?2.称X服从参数为
?，?2的正态分布，??0，记为X?N(?,?2).特别地，当??0，??1，称为标准正
态分布.
(b)正态分布的分布函数
F(x)??x??1e2????x???22?2.特别地，若X?N(0,1)，记F(x)??(x).
F(x)严格单调递增，并且F(?)?(c)正态分布的标准化 若X?N(?,?)，则
21. 2X????N(0,1).
(d)标准正态分布的分位点
假设X?N(0,1).任取??(0,1)，称满足等式P?X?z????的z?为标准正态分布的z?分位点. P?X?z?????1?P?X?z?????P?X?z???1????(z?)?1?? 即z????1?1???.
5.随机变量的函数的分布 (1)随机变量的函数的定义
设X为一个随机变量，g(x)为某一函数，则称g(X)为随机变量的函数.它也是一个随机
18
变量.
(2)离散型随机变量的函数的分布律
设X为离散型随机变量，它的分布律为P?X?xk??pk.则Y?g(X)也是离散型随机变量.假设Y的所有可能取值为y1，y2，y3，……，则Y的分布律为P?Y?yn??求具体步骤为： ①写出X的分布律
g(xk)?yn?pk.
X x1 p1 g(x1) x2 p2 g(x2) x3 p3 g(x3) ………………. ……………….. ……………….. P Y?g(X) ②将Y取值一样的栏合成一栏，并将对应概率相加.
(3)连续型随机变量的函数的分布
①连续型随机变量的函数的分布函数
设Y?g(X)，记其分布函数为FY(y)，密度函数为fY(y)，则
FY(y)?P?Y?y??P?g(X)?y??g(x)?y?f(x)dx
②连续型随机变量的函数的概率密度函数
若g(x)有单值反函数，则fY(y)?h?(y)f?h(y)?.
19
第三章 多维随机变量及其分布
一.二维随机变量
1.二维随机变量的定义
设S??e?是试验E的样本空间，X?X(e)，Y?Y(e)是两个定义在S上的随机变量.由它们构成一个向量?X,Y?，称为二维随机向量，或称为二维随机变量.
2.二维随机变量的联合分布函数
称F(x,y)?P?X?x,Y?y?为二维随机变量?X,Y?的联合分布函数.F(x,y)的图形如下.
图1 这样，
P?x1?X?x2,y1?Y?y2??F(x2,y2)?F(x2,y1)??F(x1,y2)?F(x1,y1)? ?F(x2,y2)?F(x1,y1)?F(x2,y1)?F(x1,y2)如下图：
.
(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)
图2
20