例9.假设0?P(A)?1，P(B)?1，且P(BA)?P(BA).以下结论正确的是( ) (A) P(AB)?P(AB) (B) P(AB)?P(AB) (C) P(AB)?P(A)P(B) (D) P(AB)?P(A)P(B)
例10.假设0?P(B)?1，P(A1?A2)B?PA1B?PA2B.下列结论正确的是( ) (A) P(A1?A2)B?PA1B?PA2B (B) P?A1B?A2B??P?A1B??P?A2B? (C) P(A1?A2)?P(A1B)?P(A2B) (D) P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)
????????????12.全概率公式
假设S为样本空间，B为某一事件，事件组?Ai?则P(B)?
11
ni?1为S的一个划分，P(Ai)?0.
?P(A)P(BA).
iii?1n
13.贝叶斯公式
假设S为样本空间，B为某一事件，事件组?Ai?则P(Ai)?ni?1为S的一个划分，P(Ai)?0.
P(BAi)P(Ai)?P(A)P(BA)iii?1n.
例11.某人去开会，火车
1112.，轮船，汽车，飞机，乘飞机肯定不会迟到，火车迟到105105111，轮船迟到，汽车迟到，求 43121.该人迟到的概率.
2 .该人已迟到，他怎么来的可能性最大？
12
第二章 随机变量及其分布
一.随机变量
1.随机变量的定义
设随机试验的样本空间为S??e?.若X?X(e)是定义在S上的单值实值函数，则称
X为随机变量.
2.离散型随机变量
(1)离散型随机变量的定义
如果随机变量X只能取有限个值或者可列无限多个值，则称X为离散型随机变量. (2)分布律的的定义
假设X的所有可能取值为x1，x2，……，xk，……，假设X取xk的概率为
P(X?xk)?pk，k?1,2,3,4,......称其为随机变量X的分布律.
分布律也写成如下表格形式 X P x1 p1 x2 p2 x3 p3 ……………. …………….. 其中，xi?xj，?i?j. (3) 分布律的性质
① 0?pi?1，i?1,2,3,...... ②
?pi?1
(4)几种常见的离散型随机变量 ①.0-1分布
随机变量X只有两种结果：0和1.其分布律如下： 0 X 1 P 其中，0?p?1 ②.伯努利试验与二项分布
1?p p 13
(a)伯努利试验
假设试验E只有两种可能的结果：A和A.则称E为伯努利试验.将E独立重复地进行
n次，称为n重伯努利试验.
(b)伯努利分布(二项分布)
n重伯努利试验中，事件A发生的次数所服从的分布，称为伯努利分布.假设一次试验中事件A发生的概率为p，0?p?1，就将此时的n重伯努利分布记为B(n,p). (c)伯努利分布的分布律
kk设X?B(n,p)，则P(X?k)?Cnp(1?p)n?k?Cnkpkqn?k，其中，q?1?p.这正
n好是二项定理?p?q??为二项分布.
(d)二项分布的极限分布
n?Ck?0knpkqn?k右边展开式出现pk的那一项.因此，伯努利分布又称
设X?B(n,pn)，且limnpn???0，则limCp(1?pn)n??n??knknn?k??kn!e??，k?N，
事实上，记npn??n，则limCp(1?pn)n??knknn?k??kk!e??.
k?nn?kn(n?1)(n?2)......(n?k?1)??n?limCp(1?pn)?lim(1?)??n??n??k!n?n??nn?n?k1n(n?1)(n?2)......(n?k?1)k ?lim?(1?)(1?)??nkn??k!nnn?nn?n?k1k?1??2??k?1? ?lim?1???1??.......?1??(1?)(1?)???nk!n???n??n?nnn???nn?n?k1k?1??2??k?1? ?lim?1???1??.......?1?lim?lim(1?)lim(1?)???n??nn??n??n??k!n?nn?n??n??knknn?k ??kk!e?lim?nn????kk!e???kk!e??计算.
定理的意义在于，当n很大，p很小时，X的分布律P?X?k?可以近似地用3.泊松分布
(1)泊松分布定义
假设随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,......，P(X?k)?服从参数为?的泊松分布，记为X??(?). (2)泊松分布与二项分布关系
泊松分布为二项分布的极限分布.
?kk!e??，??0，则称X 14
4.几何分布
(1)几何分布的定义
假设试验E只有两种结果：A和A.独立重复地进行试验E，直到事件A发生为止.称所作的试验次数X服从几何分布. (2)几何分布的分布律
假设一次试验中事件A发生的概率为p，0?p?1，则P?X?k???1?p?k?1p，
k?1,2,3,.......
(3)几何分布的无记忆性
①PX?m?nX?n?P?X?m? 事实上，PX?m?nX?n?????P?X?m?n,X?n?P?X?m?n?， ?P?X?n?P?X?n?k?1P?X?n??k?n?1?P?X?k???qk?n?1????qnp?p?qn，
1?qP?X?m?n??qm?n?1p，
qm?n?1pm?1于是，P?X?m?nX?n???qp?P?X?m? nq②PX?m?nX?n?P?X?n? 事实上，
??P?X?m?nX?n???P?X?m?n?kX?n???P?X?m?k??P?X?m?
k?1k?1????5.超几何分布
①超几何分布的现实模型
假设袋子里有N个球，M个红球，?N?M?个白球，除了颜色不一样外，再没有其它区别了.从中一次性取出n个球(1?n?N).则红球个数X服从超几何分布. ③超几何分布的分布律
kn?CNCN? P?X?k??nCNkM，k?0,1,2,3,......,min?M,n?.
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