3.二维随机变量联合分布函数的几条性质
①F(x,y)关于x和y都是单调不减函数.即对任意x1?x2及y，都有F(x1,y)?F(x2,y).对任意y1?y2及x，都有F(x,y1)?F(x,y2).
②0?F(x,y)?1，且对任意y，都有F(??,y)?limF(x,y)?0.对任意x，都有
x???F(x,??)?limF(x,y)?0，F(??,??)?limF(x,y)?0，
y???x???y???F(??,??)?limF(x,y)?1.
x???y???③F(x,y)关于x和y都是右连续的，即F(x?0,y)?F(x,y)，F(x,y?0)?F(x,y).
4.二维离散型随机变量
①二维离散型随机变量的定义
若二维随机变量?X,Y?的取值只有有限多对或可列无限多对，则称?X,Y?为二维离散型随机变量.
②二维离散型随机变量的联合分布律
称PX?xi,Y?yj?pij为二维离散型随机变量的联合分布律.一般都列成表格，如下：
??Y X x1 p11 p12 x2 p21 p22 p23 ……… x3 p31 p32 p33 …….. ……… ……… ……… ……… ……… y1 y2 y3 ……… (a)pij?0，?i，j (b)
p13 ……… ③二维离散型随机变量的分布律的性质
?pi,jij?1
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5.二维连续型随机变量
①二维连续型随机变量定义
若存在一个非负可积函数f(x,y)，使得
F(x,y)??y?????xf(u,v)dudv??x?????yf(u,v)dvdu
则称?X,Y?为二维连续型随机变量.称f(x,y)为随机变量(X,Y)的联合概率密度函数. ②二维随机变量联合概率密度函数的性质 (a)f(x,y)?0. (b)
??????????f(x,y)dxdy?1.
(c)设G为一个平面区域，则P??X,Y??G????f(x,y)dxdy.
?X,Y??G?2F(d)若f(x,y)在点(x,y)连续，则f(x,y)?.
?y?x③二维连续型随机变量的分布函数性质 (a) P?x1?X?x2,y1?Y?y2??(b) F(x,y)是连续的.
x2y2??x1y`f(x,y)dxdy.
二.边缘分布
1.边缘分布函数的定义
Y各 设?X,Y?是随机变量，设其分布函数为F(x,y).X和Y也会满足各自的分布.称X，
自所满足的分布为边缘分布.
2.边缘分布函数的计算
设?X,Y?是随机变量，其分布函数，边缘分布函数分别记为F?x,y?，FX(x)，FY(y).
FX(x)?P?X?x??P?X?x,Y?????F(x,??)， FY(y)?P?Y?y??P?X???,Y?y??F(??,y).
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3.二维离散型随机变量的边缘分布律
①二维离散型随机变量的边缘分布律定义
设(X,Y)为二维离散型随机变量.称P?X?xi???P?X?x,Y?y???pijjjij?pi.为
X的边缘分布律. PY?yj??PX?xi,Y?yj??pij?p.j为Y的边缘分布律.
ii????②二维离散型随机变量的边缘分布律表格形式
二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘分布如下表：
Y X x1 p11 p12 x2 p21 p22 p23 ……… x3 p31 p32 p33 …….. ……… ……… ……… ……… ……… ……… p.j p.1??pi1 iy1 y2 y3 ……… p.2??pi2 ip13 ……… p.3??pi3 i……… 1 pi. p1.??p1j jp2.??p2j jp3.??p3j j3.二维连续型随机变量的边缘概率密度
①二维连续型随机变量的边缘概率密度定义
FX(x)?F(x,??)??du???x??????f(u,y)dy，?FX(x)????f(x,y)dy.
??称
??????f(x,y)dy为随机变量X的边缘概率密度函数.
y??FY(y)?F(??,y)??dv????????f(x,v)dx，?FY(y)???f(x,y)dx.
??称
????f(x,y)dx为随机变量Y的边缘概率密度函数.
例1设二维随机变量?X,Y?的概率密度为
2???x???2????x??y??y??1??1122??f(x,y)?exp???2???????，其中，22??1?22(1??)???1??1?2??2????????1?1，?2，?1，?2，?都是常数，且?1?0，?2?0，?1???1，则称?X,Y?服从参
数为?1，?2，?1，?2，?的二维正态分布.
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三.二维随机变量的条件分布
1.二维离散型随机变量的条件分布律
①二维离散型条件分布律定义
假设二维离散型随机变量?X,Y?的联合分布律为PX?xi,Y?yj?pij.对于固定的
??j，若p.j?0，则称PX?xiY?yj???P?X?xi,Y?yj?P?Y?yj??pijp.j为随机变量?X,Y?在
Y?yj条件下的条件分布律.若pi.?0，则称
P?Y?yjX?xi??分布律.
②条件分布律的性质
(a)PX?xiY?yj?0；PY?yjX?xi?0 (b)
P?Y?yj,X?xi?P?X?xi??pijpi.为随机变量?X,Y?在X?xi条件下的条件
?????P?X?xiiY?yj?1；?P?Y?yjX?xi??1
j?2.二维连续型随机变量的条件概率密度
①二维连续型随机变量条件概率密度定义
设?X,Y?为二维随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，边缘概率密度为fX(x)，fY(y).若对于某一固定的y，有fY(y)?0，则称fXY(xy)?f(x,y)为Y?y条件下的条件概率fY(y)f(x,y)为X?x条件下的条fX(x)密度.若对于某一固定的x，有fX(x)?0，则称fYX(yx)?件概率密度.
②二维连续型随机变量条件概率密度的性质 (a)fXY(x,y)?0；fYX(x,y)?0 (b)
?????fXY(x,y)dx?1；?????fYX(x,y)dy?1
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四.相互独立的随机变量 1.随机变量独立的定义
设F(x,y)，FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量?X,Y?的联合分布函数和边缘分布函数.若对任意x，y，有P?X?x,Y?y??P?X?x?P?Y?y?，即
F?x,y??FX?x?FY?y?，则称随机变量X，Y是相互独立的. 2.离散型随机变量相互独立的充分必要条件
设pij，pi.，p.j分别为二维连续型随机变量?X,Y?的联合分布律和边缘分布律，则X与
Y相互独立的充分必要条件是：pij?pi.p.j.
3.连续型随机变量相互独立的充要条件
设f(x,y)，fX(x)，fY(y)分别为连续型随机变量?X,Y?的联合概率密度函数和边缘概率密度函数，则X与Y相互独立的充分必要条件是：f(x,y)?fX(x)fY(y).
五.两个随机变量函数的分布
1.随机变量和的分布
设?X,Y?为二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为f(x,y)，边缘概率密度函数为fX(x)，fY(y).则Z?X?Y的概率密度函数为
fZ(z)????????f(z?y,y)dy??????f(x,z?x)dx.若X，Y相互独立，则 fX(x)fY(z?x)dx.此称为卷积公式.
fZ(z)??事实上，
??fX(z?y,y)dy?????? 25