有达到最大。在这种情况下，厂商的生产函数可以表示为：
y?f(x;?)exp(?u),u?0.
（2-4）
其中，y?0代表实际产出数量；x?(x1,???,xJ)?0代表厂商所使用的投入向量；f(x;?)为厂商的随机生产边界的决定因子；而?是需要我们估计的表示厂商生产技术的参数向量。当u?0时，exp(?u)?1，这表明在一定的要素投入x下，厂商生产的实际产出y小于潜在最大产出f(x;?)。换言之，就是保持要素投入不变的情况下，假如克服了生产上的技术无效率，厂商的实际产出会提高100u%。因此，u?0代表了厂商生产的技术无效率；另外，exp(?u)?y/f(x;?)?1则代表了厂商生产的技术效率（technical efficiency）。
对应于（2-4）式的生产函数，在存在技术无效率时，厂商的利润函数可以写为：
?(?,p,u)??(?,pe?u).
（2-5）
其中，投入要素的价格向量为??(?1,???,?J)，产出的价格为p。 那么，最大化问题为：
?(?,p,u)?maxpy??'x
y,xs.t.y?f(x;?)exp(?u). （2-6）
最大化的一阶条件为：
p?fj(x;?)exp(?u)??j,j?1,2,???J.
（2-7）
或者可以写成：
fj(x;?)??jp?exp(?u),j?1,2,???J. （2-8）
其中fj(x;?)是一阶偏导数?f(x;?)/?xj。
假如我们用p替代p?exp(?u)，y替代y?exp(u)，那么，上述最大化问题就可写为：
m~axpy??'x,
y,x~~~~
s.t.y?f(x;?).
~ （2-9）
的模型，则列为进一步研究的项目。
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另外，一阶条件变为：
fj(x;?)??j~,j?1,2,...J. （2-10）
p由于u不是观察值，利润函数?(?,pe?u)也不能通过观测得到，因此该函数同实际（可观察的）利润函数是不同的。我们可以得到实际利润函数同上述定义的利润函数之间的关系如下：
?a?p?y(?,pe?pe?u?u)??'?x(?,pe?u) （2-11）
f(x(?);?)??'?x(?)
?u （2-12）
??(?,pe). （2-13）
其中?(?,pe?u)是在存在技术无效率情形下的利润函数。由（2-11） 至（2-13）式可知，当产出价格为p并且产出数量为f(x;?)e?u时的利润等于产出数量为
f(x;?)而
?u产出价
?u格为
pe?u时的利润。显然，
u?0?pe?p??(?,pe)??(?,p),其中的?(?,p)的定义为
?(?,p)?maxpy??'x,
y,xs.t.y?f(x;?)
（2-14）
亦即，利润边界为
?(?,p)??(?,pe)?uu?0. （2-15）
为了得到?(?,pe?u)，?a和利润边界?(?,p)之间的关系， 那么，实际利润函数可以写成
?a??(?,pe?u)??(?,p)?h(?,p,u), （2-16）
或者
ln?a?ln?(?,pe?u)?ln?(?,p)?lnh(?,p,u), （2-17）
其中h(?)??(?,pe?u)/?(?,p)，由于?a??(?,p)，那么有，h(?)?1，亦即我们认为h(?)为技术效率是exp(?u)时的利润效率，当且仅当u?0lnh(?)?0。
利润效率h(?)?1；lnh(?)是因技术无效率u而引起的利润损失率。
假设?(?,pe?u) 具有超越对数函数形式（translog form），即，
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时，
ln?a?ln?(?,pe?u)
?u??0???jln?j??pln(pe?1???2?j)
???k?jkln?jln?k??ppln(pe)ln(pe)?
?u?u?u???jpln?jln(pej). （2-18）
因为利润函数是价格变量?及pe?u的一次齐次函数，所以我们有如下一些限制式成立：
??jj??p?1,
??jjp??pp?0,
??kjk??jp?0, （2-19）
再利用对称性限制式?jk??kj，那么（2-17）式可以写为
ln?(?/pe?u)?ln?(?/p)?lnh(?/p,u). （2-20）
另外将（2-18）式进行标准化，合并相关参数，我们可以得到
ln(?pea?u)?ln?(?/pe?u)??0???jjln(?jpe?u)
?1??2jk?jkln(?jpe?u)ln(?kpe?u), （2-21）
?ln(?ap)?ln?(?/pe?u)??0???jjln(?jpe?u)
?1??2jk?jkln(?jpe?u)ln(?kpe?u)?u. （2-22）
?对（2-22）式，令u?0，那么标准化后的利润边界函数ln()为
pln(?p)?ln?(?/p)??0??j?jln(?jp)
?12??jk?jkln(?jp)ln(?kp). （2-23）
?a经过标准化后的对数形式的利润损失率函数为ln(p)?ln(?p)，如下：
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?lnh(,u)???1?p????jj????jkjkln(?j?)?u
p??1???2??jk?jk?u. （2-24）
??2对数形式的利润函数（2-22）式，ln(式之和：
ln(?ap)，可以写成（2-23）式和（2-24）
?ap)?ln(?p)?lnh(?p,u). （2-25）
对（2-25）运用Hotelling’s lemma，我们可以得到J个要素投入份额方程式（share equations of inputs）：
?aSj????j???k?jkln(?k/p)?????jk?u,
??k????j?1,2,...J.
a （2-26）
aSj?(?jxj)/?是第j个要素投入的成本利润份额的观察值。完全的利润最
大化方程式包括（2-25）式和（2-26）式，此模型包含有以下两个主要特点：
第一，技术无效率与利润函数呈非线性关系。
第二，在上述推导中，技术无效率的估计被转化为对成本利润份额方程式的相关估计。
2.2.2 技术效率估计式
在只存在技术无效率的情况下，我们利用随机利润边界联立模型中的成本利润份额方程式（2-26）进行技术效率估计。我们将随机干扰项?加在等式（2-26）上，即
?aSj????j???k?jkln(?k/p)?????jk?u??j,
??k????j?1,2,???J. （2-27）
在横断面模型中，个体厂商的技术效率估计决定了u是随机分布的，这里我们假设其服从指数分布。为了得到误差向量(??10ui??1i,???,??J0ui??Ji)?的密度函数，我们定义Zi?bui??i，其中，b??(?10,???,?J0)?，而且下标i代表个体厂商(i?1,???,N)。
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另外，我们假设：
（ⅰ） u服从指数分布，其密度函数为h(u)?（ⅱ）?~N(0,，向量??(?1,??)g(?)?1J121?u?ue?u，u?0。
??,?J?)，其密度函数形式为：
e1?1?????2。
(2?)2?（ⅲ） 假设向量?独立于u，因为u可以被厂商所控制而?却是任何厂商都不可控制的。因为u和?在各厂商之间是独立同分布的，因此在下面的推导中将各厂商的标记省略。
那么，Z的密度函数f(Z)，可以表示为
f(Z)?????0?f(Z,u)du
f(Zu)h(u)du. （2-28）
0其中f(Z,u)是Z和u的联合密度函数，h(u)是u的密度函数。利用上述对u和?的分布假设，我们得到Z的密度函数为
?eJ?1?a21f(Z)?(2?)2?2??1??1?????Z?b?????u????u?. （2-29） ???其中的?(?)为标准正态分布的概率分布函数。那么N家厂商的最大概似函数为
Nln(L)??lni?1f(Zi)
N2??N(J?1)2Nln(2?)?ln??Nln?
N??i?1??1??1ln???Zi??b?????u????1?Nln???u?2??a. （2-30）
ii?12其中?2?(b???1b)?1，ai?Zi???1?1?2?1Zi???Zi??b???u??。
利用最大概似估计法可以求出利润函数的参数?u2和?的一致性估计值。然
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