或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；
（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?；bmT2m?1
2（5）a为等差数列?S?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 ??nn
0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界
项，即：
?an?0当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值。?an?1?0 ?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。a?0?n?1
如：等差数列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n?
（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1
又S3??a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?13
?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3??∴Sn????18222
?n?27）
44. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1an
2 等比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy
?na1(q?1)?前n项和：Sn??a11?qn（要注意!）(q?1)??1?q
?? 性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列
45.由Sn求an时应注意什么？
（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
111如：?an?满足a1?2a2????nan?2n?5222
1n?1时，a1?2?1?5，∴a1?142 解：
111n?2时，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?5222
?1?
?2?
?1???2?得：1an?2n2
n?1∴a?2n
?14(n?1)∴an??n?1(n?2) ?2
［练习］
数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an3
（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1?4Sn
n 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4
n?1n?2时，a?S?S????3·4nnn?1
（2）叠乘法
例如：数列?an?中，a1?3，an?1n?，求anann?1
a2aaa12n?11·3??n?·??，∴n?a2an?123na1n 解：a1
（3）等差型递推公式
又a1?3，∴an?3n
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)??两边相加，得：?????an?an?1?f(n)??
an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［练习］
数列?an?，a1?1，an?3
（4）等比型递推公式
n?1?an?1?n?2?，求an
（an?1n3?1）2
??an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0??
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x
令(c?1)x?d，∴x?dc?1
d?d?∴?an?是首项为a?，c为公比的等比数列?1c?1?c?1?
∴an?dd??n?1??a1??·cc?1?c?1?
d?n?1d?∴an??a1??c??c?1?c?1
［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an
?4?（an?8????3?
（5）倒数法
n?1?1）
例如：a1?1，an?1?1an?12an，求anan?2
由已知得：
?an?211??2an2an
∴
1an?1?11?an2
?1?11???为等差数列，?1，公差为a12 ?an??
111?1??n?1?·??n?1?an22
2n?1
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
∴an?
如：?an?是公差为d的等差数列，求?1k?1akak?1
n由 解：
n111?11???????d?0?aa?ddaaak·ak?1??kk?1?k?k
n11?11?∴??????ak?1? k?1akak?1k?1d?ak
?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1??? ［练习］
1?11????d?a1an?1?
求和：1?111?????1?21?2?31?2?3????n
1）n?1
（2）错位相减法：
（an??????，Sn?2? 若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
23n?1如：S?1?2x?3x?4x????nxn
?1?