第一章 集合、函数与导数(3)
?(1?x)dx??(C001n10n22nn?C1nx?Cnx???Cnx)dx
1 由微积分基本定理，得(1?x)n?1n?1n?11k2?1 所以 ? Cn?k?1n?1k?0n10?(?1kk?11Cnx)0
k?0k?1n
点评：本题综合考查数列、二项式定理、微积分基本定理，对学生综合、灵活运用能力要求较高，可谓源于课本又高于课本，是一道区分度很高的创新题。
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第一章 集合、函数与导数(3)
本章自测题（梁金山）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设P和Q是两个集合，如果P?xlog2x?1，Q?xx?4x?4?1， 那么P?Q等于（ ）
A．x0?x?1 B. x1?x?3 C. x1?x?2 D. x0?x?3 C 解析：?P??x|0?x?2?,Q??x|1?x?3?,?P?Q??x|1?x?2?.
2．若函数y?f(x)的图像与函数g(x)?3x?1的图像关于y轴对称，则函数f(x)的表达式为 （ ）
A．f(x)??3x?1 B．f(x)?3x?1 C．f(x)??3?x?1 D．f(x)?3?x?1 Ｄ 解析：由题意得f(x)?3?x?1
???2??????????1?x3．y????2?12?1值域为 （ ）
A．（-∞，1） B．（
111，1） C．[，1） D．[，+∞） 222t1?1??1?C 解析：令t?2??0,1?,则y?????,1?.
x?1?2??2?4．已知f(x)?|lnx|，则下列不等式成立的是（ ）
A．f()?f(2) B．f()?f(3)
1213C．f()?f() D．f(2)?f(3)
1413C 解析：?f?1?1??ln?lnx?f?x?,?排除A、B、D. ?x?x?4，且当x?[?3,?1]，f(x)的x
D．
5. 已知函数y?f(x)是偶函数，当x?0时，有f(x)?x?值域是[n,m]，则m?n的值是
A．
（ ） C．1
13 B．
2 34 3Ｃ 解析：x??1,3?时，f?x?在?1,2?上递减，在?2,3?上递增，f?x?为偶函数，
当?n?f?2??4，m?f?1??5,m?n?1.
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第一章 集合、函数与导数(3)
1?log?2,x?16. 函数 f?x??? ，则y?f(x?1)的象大致是 x?2x,??????x?1?y y y 。 。 。 O x O x O x A. B. C. D. y 。 O x ??log2x,x?1B 解析：f?x???xf?x?1?的图象由f?x?的图象左移1个单位.
?2,x?1.7.若奇函数f(x)（x?R）满足f(2)?2,f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(2009)?（ ） A．0 B．1 C．2008 D．2009 D 解析：令x??1,则f?1??f??1??f?2???f?1??f?2?,f?1??1.
f?2009??f?2?1004?1??1004f?2??f?1??2009.
8. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，且在[?1，0]上单调递增，设
a?f(3)， b?f(2)，c?f(2)，则a,b,c大小关系是
A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a
D．c?b?a
D 解析：
?f(x?2)?f?x?1?1???f(x?1)?f?x?,?T?2.f?3??f??3??f?1?.?f?x?在??1，0?递增，?在?1，2?递增，?f?2??f?2??f?1?.
?x?1,(?1?x?0)?9.函数f(x)???的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为
cosx,(0?x?)??2A.
31 B. 1 C. 2 D. 22yy=x+11?2-1OxA 解析：根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：
?11S??1?1??2cosxdx??sinx2
0220? =
3 2y=cosx10．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在?a, b??D，
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第一章 集合、函数与导数(3)
?a?b?使得f(x)在?a, b?上的值域也是?a, b?，则称y?f(x)为闭函数. 若
f(x)?k?x是闭函数，则实数k的取值范围是 （ ）
A.???1?, ??? ?4? B.???1?, ??? ?2? C.??, 0?
?1?4?? D.??1??1, ??
4??2??f?a??k?a?aC 解析：由题意得??x?x?k?0有两个不等的实根.
??f?b??k?b?b令t=x?0,则t2?t?k?0有两个不等的非负实根，则??=1+4k>0?1??k??,0?.??4??-k?0.11．函数f(x)?
1312ax?ax?2ax?2a?1?a?0?的图象经过四个象限，则实数a的取32638381值范围是 A．??a? B．??a?? C．??a??
51651651663D．??a??
516'2'由选项知a?0, Ｄ 解析：f?x??ax?x?2,令f?x??0得x1??2,x2?1.???63?f??2??0由题意得????a??.
516??f?1??012. 已知函数f?x??log1x2?ax?a的值域为R，且f?x?在?3,1?3上是增函数，
2????则a的取值范围是 （ ） A 0?a?2 B ?9?a??4 C ?4?a?0 D a?0 2A 解析：令t?x2?ax?,为ay?logt减函数，?f?x?在?3,1?3是增函数，12???t?x2?ax?a在?3,1?3上是减函数且t?0，f?x?值域为R
???a?2?1?3?a?2?23?????t1?3?0??a?2?0?a?2. ??a?0或a??4??0??????备选：
１．函数f?x??x?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是减函数,那么实数a的取值范围是
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第一章 集合、函数与导数(3)
( )
A. ?3,??? 答案：B
2.偶函数f(x)满足f?x?1?=f?x?1?，且在x??0,1?时，f(x)??x?1，则关于x的方程f(x)?(
B. (??,?3?
C. ??3?
D. (??,5)
1x)，在x??0,3?上解的个数是 （ ） 10A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案写在题中的横线上． １３.已知f(x)?x3?x2f'(1)?3xf'(?1)，则f'(1)?f'(?1)的值为 . ?3'2''解析：f?x??3x?2xf?1??3f??1?, 4''?3?f?1??3f??1???3''令x?1,x??1,则?'?f1?f?1??. ????'4??2f??1??2f?1???3１４.已知函数f(x)?x3?x，对任意的m?[?2,2],f(mx?2)?f(x)?0恒成立，则x的取值范围为__________;
(?2,) 解析：f(x)?x3?x是奇函数又递增，
23f(mx?2)?f(x)?0?f(mx?2)??f(x)?f??x?,?mx?2??x,?2? ?g??2??0?当m???2,2?,有mx?x?2?0恒成立.令g?m??mx?x?2,则??x???2,?3????g?2??0.15.对于函数 f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；
② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)； ③x?xf(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)>0；④f(12)?.
22x1?x2当f(x)=lnx时，上述结论中正确结论的序号是 .
②、③解析：由对数函数的性质和图象知②、③正确. 16．请设计一个同时满足下列两个条件的函数y?f?x?：
①图象关于y轴对称；②对定义域内任意不同两点x1、x2, 都有f(x1)?f(x2)?2f(x1?x2)答： . 2答案：答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如
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