第一章 集合、函数与导数(3)
【解析】（I）?f(x)是二次函数，且f(x)?0的解集是(0,5),
?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).
? f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a. 由已知，得6a?12,?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x2?10x(x?R).
（II）方程f(x)?37?0等价于方程2x3?10x2?37?0. x设h(x)?2x3?10x2?37,则h'(x)?6x2?20x?2x(3x?10).
10)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 310当x?(,??)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。
3101?h(3)?1?0,h()???0,h(4)?5?0,
3271010?方程h(x)?0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)33当x?(0,内没有实数根，
所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?两个不同的实数根。 2.已知函数f(x)?loga37?0在区间(m,m?1)内有且只有x1?mx(a?0,a?1)是奇函数． x?1（1）求实数m的值；判断f(x)在(1,??)上的单调性，并证明； （2）当x?(n,a?2)时，f(x)的值域是(1,??)，求实数a与n值；
（3）设函数g?x???ax?8?x?1?a2f?x??5，a?8时，存在
最大实数t，使得x??1,t?时?5?g?x??5恒成立，请写出
t与a的关系式．
【解析】（1）函数f(x)?loga1?mx(a?0,a?1)是奇函数 x?1 ?f(?x)?f(x)?0恒成立
1?mx1?mx?loga?0恒成立 ?x?1x?11?mx1?mx?)?0恒成立 ?loga(?x?1x?11?mx1?mx??1恒成立 ??x?1x?12222 ?1?mx?1?x恒成立?m?1?m??1
x?1 当m?1时，f(x)无意义?m??1,f(x)?loga
x?1 ?loga
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第一章 集合、函数与导数(3)
x?12?1?是单调递减函数 x?1x?1 当a?1时，y?logat是单调递增函数
?f(x)在x?1是单调递减函数 当0?a?1时，y?logat是单调递减函数
?f(x)在x?1是单调递增函数 即当a?1时，f(x)在x?1是单调递减函数 即当0?a?1时，f(x)在x?1是单调递增函数
当x?1时，t? （2）f(x)的定义域为{xx?1或x??1}
当n?1时，a?2?1?a?3
?f(x)在x?(n,a?2)是单调递减函数
f(x)的值域是(1,??)???f(a?2)?1??a?2?3??
n?1???n?1 当a?2??1(0?a?1)时，由（1）证明同理得
?f(x)在x?(n,a?2)是单调递增函数 ?f(n)?1 f(x)的值域是(1,??)??
?a?2??1?a?2??1 ???a?1不合题意
n?1? （3）g?x???ax?8?x?1?a2f?x??5??ax2?8x?3
41??g(x)在x??1,t?上是单调递减函数 a2 ?5?g?x??5恒成立
a?8?x?a?6?g(1)?5?恒成立??2恒成立
?g(t)??5??at?8t?8?08(t?1) ?8?a?恒成立 2t8(t?1)5?15?1 ? ?8?1?t??t?maxt2222 此时at?8t?8?0
??
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