第一章 集合、函数与导数(3)
ln2??k?ln2?1 2ln2?1 211时，无零点；k?1或k?ln2?时，有两个零点；k?1时有三个零点； 2211?k?ln2?时，有四个零点.
2127x?mx?(m?0)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象22备选
1．已知f(x)?lnx，g(x)?都相切，且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(Ⅰ)求直线l的方程及m的值；
(Ⅱ)若h(x)?f(x?1)?g?(x)(其中g?(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值； (Ⅲ)当0?b?a时，求证：f(a?b)?f(2a)?解：(Ⅰ)?f?(x)?b?a. 2a1， x?f?(1)?1.
∴直线l的斜率为1，且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0).
∴直线l的方程为y?x?1. …………………… 2分 又∵直线l与函数y?g(x)的图象相切,
?y?x?1?∴方程组?127有一解.
y?x?mx???22由上述方程消去y，并整理得
x2?2(m?1)x?9?0 ①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
????2(m?1)??4?9?0
解之，得
m?4或m??2 ?m?0
?m??2 . …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)?2127x?2x?， 22?g?(x)?x?2
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第一章 集合、函数与导数(3)
?h(x)?ln(x?1)?x?2(x??1) . …………………… 6分
?h?(x)?1?x?1? . …………………… 7分 x?1x?1∴当x?(?1,0)时，h?(x)?0， 当x?(0,??)时，h?(x)?0.
∴当x?0时，h(x)取最大值，其最大值为2. …………………… 10分 (Ⅲ) f(a?b)?f(2a)?ln(a?b)?ln2a?lna?bb?a?ln(1?). ……… 12分 2a2a?0?b?a，
??a?b?a?0 ， 1b?a?0. ???22a由(Ⅱ)知当x?(?1,0)时，h(x)?h(0) ∴当x?(?1,0)时，ln(1?x)?x，
b?ab?a)?. 2a2ab?a∴f(a?b)?f(2a)? . …………………………………
2a22.若函数f(x)?lnx,g(x)?x?
x?ln(1? （1）求函数?(x)?g(x)?kf(x)(k?R)的单调区间
（2）若对所有的x?[3,??)都有xf(x)?ax?a成立，求实数a的取值范围. 解：（1）?(x)的定义域为(0,??)
2kx2?kx?2??(x)?1?2?? 2xxx??k2?8
①当??k2?8?0时,即?22?k?22时,??(x)?0 ②??k2?8?0时,即k?22或k??22时
?k?k2?8?k?k2?8 方程x?kx?2?0有两个不等实根x1?,x2?222 17
第一章 集合、函数与导数(3)
若k?22,则x1?x2?0,故??(x)?0
若k??22,则0?x1?x2
当0?x?x1时,??(x)?0;当x1?x?x2时,??(x)?0;
当x2?x时,??(x)?0
综
上
：
?k?k2?8?k?k2?8当k??22时,?(x)的单调递增区间为(0,)及(,??)
22
?k?k2?8?k?k2?8单调递减区间为[,]
22
当k??22时,?(x)的单调递增区间（0，+?）
?xlnx?ax?a?a?xlnx x?1
（2）?x?e
令h(x)?则h?(x)?xlnx,x?[e,??) x?1
x?lnx?1 2(x?1)
1?0 x?x?lnx?1?e?lne?1?e?2?0?当x?e时,(x?lnx?1)?1??h?(x)?0 ?h(x)min?h(e)??a?e e?1e e?1
另解：xf(x)?ax?a?xlnx?ax?a?0
令h(x)?xlnx?ax?a,则当x?[e,??)时,h(x)min?0h?(x)?lnx?1?a,由h?(x)?0得x?ea?1
且当0?x?ea?1时h?(x)?0,当x?ea?1时h?(x)?0 ?h(x)在(0,ea?1)单减,在(ea?1,??)单增
①当a?2时,ea?1
?e
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第一章 集合、函数与导数(3)
?h(x)在(e,??)单增?a?e e?1?h(x)min?h(e)?e?ae?a?0
②当a?2时,由h(e)?0?e?a?ae
若2?a?e,则e?a?2e?ae,若a?e,则e?a?2a?ae,
故a?2不成立
综上所述a?
e e?11?x?lnx． 3.已知函数f?x??ax（1）若函数f?x?在?1,???上为增函数，求正实数a的取值范围； （2）当a?1时，求f?x?在?,2?上的最大值和最小值；
2
?1???
1111?????． 234nax?1ax?1a?0?0对x??1,???恒成立， 解析：（1）由已知：f?(x)?，依题意得：??22axax（3）当a?1时，求证对大于1的任意正整数n，lnn? ∴ax?1?0对x??1,???恒成立，即a?1?1?对x??1,???恒成立，a???，即x?x?maxa?1．.
（２）当a?1时，f?(x)?x?1'?1??1?fx?0，若x??1，在，若，则,2x?,1,2?则???2???x?2??2??1?
f'?x??0，故x?1是函数f?x?在区间?,2?上的唯一的极小值点，也就是最小值点，
?2?
故f?x?min?f?1??0；
3lne3?ln16?1?33， 因为e?2.7?19.683?16，所以f???f?2???2ln2?22?2??1?f???f?2??0，即?2??1??1?f???f?2?，即函数f?x?在区间?,2?上最大值是?2??2???
?1?f??．综?2?上知函数f?x?在区间?,2?上最大值是1?ln2，最小值是0．
2
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?1?
第一章 集合、函数与导数(3)
（３）当a?1时，由（１）知，函数f?x??当n?1时令x?1?x?lnx在?1,???上为增函数． xn，则x?1，故f?x??f?1??0， n?1n1??n?n?1?lnn??1?lnn?0，即lnn?1． 即f???nn?1nn?1nn?1?n?1?n?12131n1?， 故ln?，ln?，…………，ln1223n?1n23n111?????， 相加得ln?ln???ln12n?123n而ln23nn??23?ln???ln?ln???????lnn， 12n?112n?1??1111?????． 234nax在x?1处取得极值2. 2x?b即lnn?4．已知函数f(x)?⑴ 求函数f(x)的解析式；
⑵ 若函数f(x)在区间(m,2m?1)上是单调函数，求实数m的取值范围； ⑶ 若P(x0,y0)为f(x)?率的取值范围.
ax图像上的任意一点，直线l与图像切于点P，求直线l的斜2x?ba(x2?b)?ax(2x)a(?x2?b)?2.解：⑴ 求导f'(x)?，又f(x)在x?1处取得极值2，所以222(x?b)(x?b)?a(b?1)?02??f'(1)?0?a?44x(b?1)?，即，解得，所以； f(x)????2f(1)?2b?1x?1???a?2?b?1?⑵ 因为f'(x)??4(x?1)(x?1)，又f(x)的定义域是R，所以由f'(x)?0，得
(x2?1)2?1?x?1，又f(x)在[?1,1]上连续，所以f(x)在[?1,1]上单调递增，在
m?1)(??,?1]和[1,??)上单调递减，当f(x)在区间(m,2上单调递增，则有
?m??1?2m?1??1??1?m?0(m,2m?1)f(x)，得，当在区间上单调递减，则有2m?1?1???2m?1?m?2m?1?m? 20