第一章 集合、函数与导数(3)
上述命题中的所有正确命题的序号是 . 答案：①②③
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.函数f?x??域为集合B. （1）求A；
（2）若B?A，求实数a的取值范围. 解析：（1）由题意得2?2?x?3的定义域为集合A,函数g?x??lg?的定义?x?a?1??2a?x????x?1?x?3x?1??x?1??x?1??0?0??0???x??1或x?1. x?1x?1??x?1?0?A??x|x??1或x?1?
（2）B：（x-a-1）（x-2a）＜0
∵φ≠B?A，
?a?1?2a?2a??1或a?1?1∴① ? ∴a＞1
?a?1?2a11?a?!??1或2a?1或②? ∴a≤-2或2≤a＜1； ∴a＞1或a≤-2或2≤a＜1
18．已知函数f(x)?x,f(2)?1且方程f(x)?x?0有唯一解，求f(x)的解析式. ax?b解析：要求f(x)的解析式，只需建立关于a,b的方程.其关键在于用好条件方程
2?1.又方程f(x)?x?0有唯一解，所以，
2a?b2x?1知a=1.此时方程?x?0有唯一非零解.此时，f(x)?1. ①若b?0，结合
2a?bax?bx?x?0的唯一解，即方程x(ax?1?2a)?0有唯一②若b?0，此时x?0必是方程
ax?bf(x)?x?0有唯一解.∵f(2)?1，∴
解x?0，∴方程ax?1?2a?0有解x?0或无解.∴1?2a?0或??a?0,再由
?1?2a?0.1?22x1?a?,?a?0,?1得?(a?,b?1) ∴f(x)?2或?2a?bx?22?b?2.?b?1.?或f(x)?2x1x(a?,b?1)或f(x)?(a?0,b?2). x?22226
第一章 集合、函数与导数(3)
19．已知函数y?f?x?是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?x2。 （1）求x?0时，f(x)的解析式；
（2）问是否存在这样的正数a,b，当x?[a,b]时，g(x)?f(x)，且g(x)的值域为[,]若存在，求出所有的a,b值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设x?0，则?x?0于是f(?x)??2x?x2，
又f(x)为奇函数，所以f(x)??f(?x)?2x?x2，即f(x)?2x?x2(x?0)， （2）分下述三种情况： ①0?a?b?1,那么
11ba1?1，而当x?0,f(x)的最大值为1， a故此时不可能使g（x）=f（x），
②若0?a?1?b，此时若g(x)?f(x)，则g(x)的最大值为g(1)?f(1)?1，得a?1，
这与0?a?1?b矛盾；
③若1?a?b，因为x?1时，f(x)是减函数，则f(x)?2x?x2,于是有
?12?g(b)??b?2b2???b?(a?1)(a?a?1)?0?? ?2??(b?1)(b?b?1)?0?1?g(a)??a2?2a??a考虑到1?a?b,解得a?1,b?
1?5 2
?a?1,?综上所述?1?5
.?b??220．（本小题满分12分）
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万
元/辆，年销售量为5000辆。本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0 （I）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成 本增加的比例x应在什么范围内？ （II）年销售量关于x的函数为y?3240(?x?2x?),则当x为何值时，本年度的年 利润最大？最大利润为多少？ 253 27 第一章 集合、函数与导数(3) 解：（I）由题意得：上年度的利润为 (13?10)?5000?15000万元； 本年度每辆车的投入成本为10?(1?x)万元； 本年度每辆车的出厂价为13?(1?0.7x)万元； 本年度年销售量为5000?(1?0.4x). …………2分 因此本年度的利润为 y?[13?(1?0.7x)?10?(1?x)]?5000?(1?0.4x)?(3?0.9x)?5000?(1?0.4x)??1800x2?1500x?15000(0?x?1).???4分5由?1800x2?1500x?15000?15000,解得0?x?. 6所以,为使本年度的年利润比上年度有所增加,5则0?x?.????6分6 （II）本年度的利润为 5f(x)?(3?0.9x)?3240?(?x2?2x?) 3………7分 ?3240?(0.9x3?4.8x2?4.5x?5).f?(x)?3240?(2.7x2?9.6x?4.5)?972(9x?5)(x?3). 由f?(x)?0,解得x?5,或x?3 95当x?(0,)时,f?(x)?0,f(x)是增函数;95当x?(,1)时,f?(x)?0,f(x)是减函数.955?当x?时,f(x)取得最大值,f(x)max?f()?20000. 995所以当x?时,本年度的年利润最大,9最大利润为20000万元.????12分1?x?,x?[?2,?1)?x?1?21．已知函数f(x)???2,x?[?1,)2??x?1,x?[1,2]?x2? （Ⅰ）求f（x）的值域； 28 第一章 集合、函数与导数(3) （Ⅱ）设函数g(x)?ax?2,x?[?2,2]，若对于任意x1?[?2,2],总存在x0?[?2,2]， 使得g(x0)?f(x1)成立，求实数a的取值范围. 解：（I）当x?[?2,?1)时，f(x)?x? 当x?[?1,)时，f(x)??2 15 在[?2,?1)上是增函数，此时f(x)?[??2) x2121133 在[,2]上是增函数，此时f(x)?[?,] x222533 ?f(x)的值域为[?,?2]?[?,] 222533（II）（1）若a?0，g(x)??2,对于任意x1?[?2,2]，f(x1)?[?,?2]?[?,]， 222 当x?[,2]时，f(x)?x?不存在x0?[?2,2] 使得g(x0)?f(x1) 成立 （2）若当a?0 时， g(x)?ax?2在[-2，2]是增函数，g(x)?[?2a?2,2a?2] 任给x1?[?2,2]，f(x1)?[?12533,?2]?[?,]， 222若存在x0?[?2,2]，使得g(x0)?f(x1)成立， 则[?533,?2]?[?,]?[?2a?2,2a?2] 2225??2a?2???72?a? ?34?2a?2?2?（3）若a?0，g(x)?ax?2在[-2，2]是减函数，g(x)?[2a?2,?2a?2] 5?2a?2???72?a?? ?34??2a?2?2?77综上，实数a的取值范围是(??,?]?[,??) 441222.已知函数f(x)?x?mlnx 2（１）若函数f?x?在??1?,???上单调递增，求实数m的取值范围； ?2?（２）当m?2时，求函数f(x)在[1,e]上的最大，最小值； 29 第一章 集合、函数与导数(3) （３）当m??9923时，对任意的正整数n，比较f?n?与n的大小． 1003解：（１）当m?1时，，若函数f?x?在??1??1?,???上单调递增，则f'?x??0在?,???上?2??2?恒成立，即m?x在?21?1?,???上恒成立，即m?． （4分） 4?2?'2x2?2,2?（２）当m?2时，f?x??x??，令f'?x??0得x?2，当x??1??xx时f'?x??0，当??2,e?时f'?x??0，故x???2是函数f(x)在[1,e]上唯一的极小值 点，故f?x?min?f?2??1?ln2． （6分） 112e2?41e2?4?，故f?x?max?又f?1??，f?e??e?2?．（8分） 22222（３）令g?x??231299x?x?lnx，则32100g'?x??2x2?x?9999??（10分） ??x2?x???x2??， 100x100x??22当x??1,???时，x?x?0，?x???99?'??0，故在?1,???上g?x??0恒成立，即函100x?1?0， （１3分） 6数g?x?在?1,???单调递增，故g?x??g?1??取x?n，则g?n??0，故有f?n??23n． （１4分） 3 备选题 1.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。 （I）求f(x)的解析式； （II）是否存在实数m使得方程f(x)?37?0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的x实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 30