第四章 信号分析
由于付里叶变换是一对一的变换，所以存在逆变换，设X(?)是?的实变量的复变函数，则无穷积分
1?x(t)?X(?)ej?td? （4-35） ?2π??称为付里叶逆变换，常记作x(t)?(?X)(w)。上式也可写作
?1x(t)?1?j2πftX(f)edf （4-36） 2π???在频率分析中，称X(?)为x(t)的谱函数谱特性或谱密度函数。 付里叶变换的基本性质：
（1）线性性质
若X1(?),X2(?)分别是x1(t),x2(t)，且a,b都是常数，则有
?[ax1(t)?bx2(t)]?aX(?)?bX(?) （4-37）
同理有
??1[aX(?)?bX(?)]?ax1(t)?bx2(t) （4-38）
该性质表明付理叶变换适用于线性系统的分析；时域上的叠加对应于频域上的叠加。
（2）相似性质
若X(?)??[x(t)]，且a为实数则有
1?X() （4-39a） aa1t?1频率尺度变化： ?[X(a?)]?X() （4-39b）
aa比例尺度变化： ?[x(at)]?该性质表明：快录慢放可以提高频率的分辨力（对时间尺度变化而言）。
（3）位移性质
若将时间函数x(t)沿时间轴平移?t0，则X(?)需乘以e?j?t0；反之，若时间函数乘以
e?j?0t，则X(?)将平移??0。信号处理中的细化技术多采用了上述复调制性质。
（4）对称性质
如果x(t)是偶函数，则X(?)也是偶函数；如果x(t)是奇函数，则X(?)也是奇函数。 （5）帕斯维尔定理
?
???x(t)dt?212?????X(?)d? （4-40）
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2第四章 信号分析
（6）乘积与卷积
两个函数之积的付里叶变换等于这两个函数付里叶变换的卷积；反之，两个函数卷积的付里叶变换等于两个函数的付里叶变换的乘积。
即若X(?)??[x(t)],G(?)??[g(t)] 则有 ?[x(t)g(t)]?1{X(?)?G(?)} （4-41） 2??[x(t)?g(t)]?X(?)G(?) （4-42）
卷积运算是滤波计算及系统的输入输出分析等的数学工具，其数学表达式为，
x(t)?g(t)??x(?)g(t??)d? （4-43）
（7）微分性质和积分性质
[x(t)]?j??[x(t)] （4-44） 微分性质 ?[x推论 ?(n)'(t)]?(j?)n?[x(t)] （4-45）
t积分性质 ?[???x(t)dt]?1?[x(t)] （4-46） j?由于机组振动传感器采集的信号含有位移、速度以及加速度，所以加速度、速度和位移函数之间的付里叶变换即利用了上述性质
3.离散付里叶变换（DFT）
连续付里叶变化的离散化实现过程就是所谓的付里叶离散变换，简称DFT（Discrete Fourier Transform）。
连续时间信号x(t)在[0,T]上经过A/D变换后，得到长度为N的时间序列x(n)，其中
N?t/?t,?t?1/fs,fs为采样频率，满足采样定理，即fs?2fmax,fmax分析信号的最高频
率，则x(t)付里叶变换式为：
X(f)??x(n?t)en?0N?1?j2?ft?t （4-47）
在实际运算中，由于只能对有限项计算，因此，必须对连续无限项的频率抽取离散值，以便与时域采样相对应，取?f?周期离散信号进行付里叶变换
11?t?，结果把信号x(t)以T为周期加周期延拓。对该NT64
第四章 信号分析
X(k?f)??x(n?t)en?0N?1?j2?kn1N?t （4-48）
用X(k)表示X(k?f)，x(n)表示x(n?t)，并省略?t，则有
X(k)?N?1n?0?x(n)en?0N?1?j2?kn1N （4-49）
1NX(k?N)??x(n)e式中n—— 时序号
k—— 频序号
?j2?(k?N)n1N??x(n)en?0N?1?j2?kne?j2?n?X(k) （4-50）
上式表明：X(k)是以N为周期的周期函数，因此只须计算N个值就行了。
离散付里叶变换是一个可逆过程，因此，可以借助其逆变换重复原时间序列。离散付里叶变换简记为“IDFT（Inverse Discrete Fourier Transform）”,其定义式为
1x(n)?N?[X(k)Wk?0NN?1?nkN] 0?n?N?1。 （4-51）
WN?e?j2?
若对IDFT式取两次共轭，其形式就与DFT统一起来了。即
1N?1nk x(n)?[?X(k)WN] （4-52）
Nk?0DFT具有线性性质、时移性质、频移性质、对称性质、共轭性质、奇偶性质等基本性质，并满足卷积定理和帕斯维尔定理。
4.快速付里叶变换（FFT）
DFT为离散信号的分析处理从理论上提供了变换工具，而快速付里叶变换则是作为一种快速算法而发展起来的。目前，该算法已在数字序列的频谱分析、数字滤波、相关技术以及数字网络综合分析方面得到了广泛应用。
基2时间选抽算法是1965年由Cooley和Tukey提出来的，所以又称为Cooley-Tukey算法，简记为DIT，该算法的基本原理如下：
若时间序列x(n)，长度N?2时，则原序列x(n)可以分成含有偶函数点和含有奇函数点的两个N/2点的序列，即
偶序列：g(r)?x(2r)
M 65
第四章 信号分析
奇序列：h(r)?x(2r?1),r?0,2,...,因此，x(n)的N点DFT可写成
N?1n?0N?12r?0N?1 2nk2rk(2r?1)kx(k)??x(n)WN??[x(2r)WN?x(2r?1)WN]
??r?0N?12rkkg(r)WN?WN?h(r)WNrk （4-53）
2kN?12r?02所以 X(k)?G(k)?WNH(k) （4-54） 式4-54是k从0到
Wk?N2NN?1之间的N点X(k)序列的前一半，X(k)序列的后一半，由于2NNk??WN和G(k?)?G(k),H(k?)?H(k)
22NNNNk?k得X(k?)?G(k?)?H(k?)WN2?G(k)?WNH(k) （4-55）
222FFT算法的基本公式为
NkH(k),当k?0~?1时?G(k)?WN2X(k)??NkG(k)?WNH(k),当k?~N?1时2? （4-56）
上式的运算称为“蝶形运算”，因为它的流程图形状犹如蝴蝶，如图4-2所示。
G(k)?G(k)?WNKH(k)kWNa?a?bW W
H(k)?G(k)?WNKH(k)
由于N?2,所以为两个
Ma?a?bW图4-2 蝶形运算
N仍可以被2整除，因此，G(k)和H(k)的计算又可以按奇偶分解2N点的来得到。如此继续分解下去，直至没有必要再分解为止，则总共可以进行M次40分解，而最后一次，每个蝶形只有一次加（减）法而没有乘法(此时W?1)，这样的分解结果，最后只需0.5Nlog2N次复数乘法和Nlog2N次复数加法，比直接算法的N次复数乘
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2第四章 信号分析
法和N(N?1)次加法的运算量大为减少
4.2.1.2拉普拉斯变换(Laplace Transform)
设x(t)是定义在(0,??)上的实值函数，则无穷积分
X(s)??x(t)estdt （4-57）
0??叫做x(t)的Laplace变换,简称拉氏变换，记作X(s)?L[x(t)]。X(s)叫做x(t)的象函数，
x(t)叫做X(s)的原函数。
设x(t)是s的复变函数，无穷积分
1??j?x(t)?X(t)estds （4-58） ?2?j??j?叫做x(s)的拉氏逆变换，记作x(t)?L[X(s)]，其中t为大于零的实变数。
定理4.1 若x(t)函数满足下列条件：当t?0时，x(t)?0；在t?0的任意有限区间上分段连续；随着t的增大，存在M、c实常数使得x(t)?Me成立，c称为x(t)增长指数。则x(t)的拉氏变换在半平面Re?c上一定存在，这时该式右端积分绝对一致收敛，且在半平面内X(s)为解析函数。
拉氏变换具有线性性质、微分性质、积分性质、相似性质、位移性质以及延迟性质。这
些性质在拉氏变换时具有简化计算的作用。
（1）线性性质
L[ax1(t)?b2x(t)]?aL[x1(t)]?bL[x2(t)]
ct?1L?1[ax1(s)?b2x(s)]?aL?1[x1(s)]?bL?1[x2(s)] （4-59）
（2）延迟性质
若L[x(t)]?X(s)，且t?t0时，x(t?t0)?0则有
L[x(t?t0)]?e?st0X(s) （4-60）
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