第四章 信号分析
t??L(Xt)??xx???ixi;?i??(i?1,???,t)? (4-119)
i?1??若xt(k)以及其它预报函数xt?(k)均?L(Xt)，恒满足下式
??????/ E?xt?1?xt(l)??E?xt?1?xt(l)? (4-120)
????22??则称xt(k)为t时刻的最小方差预报。 et(k)?xt?1?xt(k)
??? (4-121)
?et(k)为k步预报误差。
（3）条件均值预报
假设Xt与xt+k的联合密度函数已知为p(X,x),则在获得观测序列Xt的条件下，xt+k的条件预报值为：
xt(l)?
?????P(X,x)dxX?X1??P(X,x)dx （4-122）
???4.4时频分析
4.4.1时频分析的基本概念和分析思想
基于Fourier变换的信号频域表示及信号能量在频域的分布揭示了信号频域的特征，其在信号处理方面具有一定的优势。但是，Fourier变换是一种整体变换，信号的表示要么是时域，要么是频域，频域的特征谱无法给出谱变化的时间和变化情况，因此，寻求一种可以对时域和频域联合表示的信号处理工具就非常必要，而这种时域频域联合的函数称为时频表示。
典型的时频表示有短时Fourier分析、Gabor 变换、Winger等等。用T(t,ω)标记时频表示，P(t, ω)表示时频分布。
令s(t)表示实非平稳信号，将s(t)转换成复信号z(t)的一般方法是： 令s(t)=|z(t)|cosφ(t)，加入一个虚拟信号x(t)作为复信号的虚部，即
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第四章 信号分析
z(t)?s(t)?jx(t)z(t)?r(t)ej?(t) r(t)? s(t)2?x(t)2 （4-123）
?(t)?arctan??x(t)??s(t)??r(t)称为复信号的瞬时幅值，φ(t)为瞬时相位。
由于实信号的频谱为共轭对称，剔除负频部分不会造成任何信息损失，也不会带来任何虚假信息，因此复信号的频谱可以表示为：
?2S(?)? Z(?)??S(?)?0??1?H(?)??0??1? X(?)???0??0?S(?)[1?H(?)] （4-124） ??0式中的H(ω)为奇对称的阶跃式传输函数，即
??0??0 （4-125） ??0非平稳信号分析中，瞬时频率和群延迟是比较重要的两个物理量。常说的频率ω指：
? x(t)e?j2??tdt （4-126）
从物理学的角度，信号可以分为单分量信号和多分量信号。单分量信号在任意时刻都只
有一个频率，该频率称为信号的瞬时频率。而多分量信号在任意时刻各分量都具有各自的瞬时频率。
信号s(t)的瞬时频率定义为：
fi(t)?1d ?argz(t)? （4-127）
2?dt时频分析的基本任务是建立一个函数，要求此函数不仅能同时用时间和频率描述信号的能量密度，还可以以同样的方式用来计算任何密度。
能量密度或瞬时功率：|s(t)|2=在时间t，每单位时间内的强度或者能量。
s(t)?t?在时间t，?t时间内的部分能量。 频率密度和能量密度频谱：S(?)22?在频率?，每单位频率内的能量或者强度。
S(?)???在频率?，在频率间隔??内的部份能量。 寻求一种联合密度分布函数P(t,?)，使
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第四章 信号分析
P(t,?)=在时间t和频率?的强度或者能量
P(t,?)?t???在时间t和频率?，在时-频单元?t??内的部分能量
P(t,?)的边缘分布满足：
?P(t,?)d??s(t) （4-128） ?P(t,?)dt?s(?) （4-129）
P(t,?)的全积分满足：
E?22??P(t,?)d?dt??s(t)dt??s(?)d? （4-130）
22分布的总能量等于信号的总能量。 信号的一阶混合矩： t,??位移性：
如果s(t)?s(t?t0)，则P(t,?)?P(t?t0,?) 如果S(?)?S(???0)，则P(t,?)?P(t,???0) 如果P(t,?)?P(t?t0,???0)，则s(t)?e
j?0t??t?P(t,?)d?dt （4-131）
s(t?t0)或S(?)?e?j?t0S(???0)
4.4.2短时付里叶变换
定义：
s(t)?A(t)ej?(t)；h(t)?Ah(t)ej?h(t) （4-132a） S(?)?B(?)ej?(?)；H(?)?BH(?)ej?H(?) （4-132b）
对信号在时间t进行加窗处理，产生的信号为：
st(?)?s(?)h(??t) （4-133）
因为改变的信号加强了围绕着时间t的信号，付里叶变换为：
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第四章 信号分析
St(?)?12?12??e?j??s?(?)d? （4-134）
??j??e?s?(?)h(??t)d?
在时间t的时频能量密度频谱为： PSP(t,?)?St(?)2?12?2?j??e?s(?)h(??t)d? （4-135）
不同的时间t形成不同的频谱，称之为频谱图。
上面所给出的是短时付氏变换，同样的也可以研究某特定频率附近的信号，也就是对频域信号进行加窗处理，称之为短频时间变换。
用频率窗函数给频谱加窗，并进行付氏反变换得：
s?(t)?12?12?j?t/// （4-136） es(?)H(???)d??/由于H(?)??j?th(t)edt，所以： ?St(?)?e?j?tdt （4-137）
因此，可以利用短频时间变换或短时付氏变换来定义联合密度分布： P(t,?)?St(?)同样可以得到频谱图的特征函数：
2?s?(t) （4-138）
2MSP(?,?)???St(?ej?t?j??dtd?
?As(?,?)Ah(??,?) （4-139） 其中
211（4-140） As(?,?)??s*(t??)s(t?)ej?tdt
22?通过对全部时间和频率范围内积分，就可以得到信号的总能量，信号的能量计算可以通
过两种方法得到：
ESP???PSP(t,?)dtd? （4-141）
Esp?MSP(0,0)
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第四章 信号分析
?As(0,0)Ah(0,0) ? ?s(t)dt??h(t)dt （4-142）
222应用信号边缘分布的计算可得： 时间边缘 P(t)? ? ?频率边缘 P(?)??S(?)td?
1*//?j?(???/)/s(?)h(??t)s(?)h(???)ed?d?d? ?2?22A(?)A(??t)d? （4-143） h?2/2//B(?)B(???)d? （4-144） H?由于使用频谱图得到的各物理量都产生了信号与窗的关联，但是一般希望以上各基本结果与窗无关，当窗变窄，会得到越来越好的估计。但是当Ah(t)??(t)时，有：
2?t?22/A(?)A(??t)?(?)d?h??A22(?)A(??t)d?/2h
A(?)?(??t)?(?)d?? ??A(?)?(??t)d?2A2(t)?/(t) （4-145） ?2A(t)或 ?t??(t)
当窗口变窄，增加了信号的时间分辨率，但是相应地也加大了标准偏差，因此应该寻找一个最优窗来满足上述的要求。通过应用不确定原理进行推理，最后得到： 最佳窗宽度?/12?(t)// （4-146）
4.4.3Winger分布
Winger分布是由Ville引入到信号分析中的，并根据特征函数方法推导出来Winger分布。信号s(t)或者频谱S(?)的定义为：
W(t,s)?111 s*(t??)s(t??)e?j??d? （4-147）?2?22111?t???S*(???)S(???)ed? ?2?2282