第四章 信号分析
（3）积分性质
L[x(t)dt]?X(s) （4-61a）
0?x(t) L[]??X(s)ds （4-61b）
0t?t1s（4）微分性质
L[x(t)]?sX(s)?x(0) （4-62a）
推论：L[x(n)/(t)]?snX(s)?sn?1x(0)?sn?2x/(0)?...?x(n?1)(0),Re(s)?c （4-62b）
///(n?1)当初始值时x(0)?x(0)?x(0)?...?x/n(0)?0时，则有
(n) L[x(t)]?sX(s),L[x(t)]?sX
（5）相似性质
L[x(at)]?(s) （4-62c）
1sx() （4-63） aa该性质表明,当放大或缩小若干倍后，其象函数（或原函数）形式不变,只是相对的缩小或放大相同的倍数。
（6）位移性质
L[ex(t)]?X(s?a) （4-64）
at4.2.1.3希尔伯特变换
希尔伯特变换是一种线性变换，意义在于它揭示了可实现的系统函数其实部与虚部之间的相互依赖关系，它构成了一个希尔伯特变换对。在机械故障诊断方面许多工作者正在积极探索它的应用。
设有实值函数x(t)，t?(??,??),它的希尔伯特变换定义为
??x(?)?x(t)??d? （4-65）
???(t??)常记作x(t)?H[x(t)]。即x(t)是函数x(t)与
??1的卷积，故可写成 ?t1?x(t)?x(t)? （4-66）
?t希尔伯特变换的性质可以简化运算。
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第四章 信号分析
⑴线性
若x1(t)?H[x1(t)],x2(t)?H[x2(t)]且a,b为任意常数，则有
????H[ax1(t)?bx2(t)]?ax1(t)?bx2(t) （4-67）
⑵位移性
H[x(t?a)]?x(t?a) （4-68） ⑶希尔伯特变换的二重变换
H[x(t)]??x(t) （4-69） 两重希尔伯特变换的结果仅是原函数加一负号。
推论： H[x(t)]?(j)x(t) （4-70）
⑷奇偶性
如果原函数x(t)是t的偶（奇）函数，则其希尔伯特变换x(t)就是t的奇（偶）函数 ⑸相似性
H[x(at)]?x(at)，a为常数 （4-71） ⑹正交性
2n2n??????????x(t)x(t)dt?0 （4-72）
⑺能量守恒
由帕斯维尔定理可知：
?????x(t)dt??2?????x2(t)dt （4-73）
（8）卷积性质
??H[x1(t)x2(t)]?x1(t)?x2(t) （4-74a）
希尔伯特逆变换公式为：
??x(t)?x(t)?H[x(t)]???d? （4-74b）
???(t??)?14.2.2频域分析
对于机组故障诊断而言，时域分析往往只能粗略地提供类似机组是否有故障的信息，不能提供故障发生部位等信息。一般用作简易诊断。对故障进行定位方法就是进行信号的频
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第四章 信号分析
域分析。所谓频域分析，即是把以时间为横坐标的时域信号通过付里叶变换分解为以频率为横坐标的频域信号，从而求得关于原时域信号频率成分的幅值和相位信息的一种分析方法。通过对各频率成分的分析，对照机组各部件运行时的特征频率，查找故障源。 4.2.2.1幅值谱分析
幅值谱分析就是直接对采样所得的时域信号进行付里叶变换，求得关于该时域信号的频率构成信息，其数学运算式为
X(f)??x(t)e?j2?ftdt （4-75）
???式中 x(t)——时域信号（振动加速度、速度或位移）；
X(f)——信号的幅值谱，是以频率为自变量的复值函数。
周期信号经过付里叶变换后的复值谱X(f)是离散谱，构成信号的频率成分是基波及其各次谐波分量。非周期信号变换后的幅值谱X(f)是连续谱，即信号连续的分布在一定的范围内。但是通过FFT数值计算所得的频谱都是离散谱。 4.2.2.2功率谱分析
功率谱是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述，包括自功率谱和互功率谱。 由帕斯维尔定理可以推知，信号的幅值谱与自功率谱之间存在如下的对应关系
X2(f) S(f)? （4-76）
T 其离散化采样的计算公式为
SN(f)?12XN(f) （4-77） N式中 N--采样长度。
设有时间历程信号x(t)和y(t)，它们的自相关函数和互相关函数分别为
Rx(?)、Ry(?)、Rxy(?)，则由维纳一辛钦定理可得
Sx(f)?y?S(f)??S(f)??xy????Rx(?)e?2?f?d? Ry(?)e?2?f?d????
?? Rxy(?)e?2?f?d? （4-78）
其中，sx(f)和sy(f)称为信号x(t)和y(t)的自功率谱密度函数，简称自谱，Sxy(f)为
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第四章 信号分析
互功率谱密度函数，简称互谱。由于sx(f)和Rx(?)之间是付里叶变换对的关系，两者是唯一对应的，sx(f)中包含着Rx(?)的全部信息。因为Rx(?)是实偶函数，sx(f)也是实偶函数。因此常用f=0～??的单边功率谱来表示。
Gx(f)?2Sx(f)?2?Rx(?)e?2?f?d? （4-79a）
????Gy(f)?2Sy(f)?2?Ry(?)e?2?f?d? （4-79b）
??Gxy(f)?2Sxy(f)?2?Rxy(?)e?2?f?d? （4-79c）
???由于自相关函数为实偶函数，因此，自谱函数即为实谱函数，所以：
Gx(f)?2Sx(f)?2?Rx(?)e?2?f?d??4?Rx(?)cos2?f?d? （4-80）
??0??反之，自相关函数也可表示为
Rx(?)??Sx(f)e2?f?df??Gx(f)cos2?f?df （4-81）
??????同理可得 Ry(?)?????Sy(f)e2?f?df??Gy(f)cos2?f?df （4-82）
???当??0时，则根据Rx(?)和Sx(f)的定义有
?1T2222 （4-83） R(0)?lim?x(t)dt??G(f)df??x??x??x0T??T0x信号x(t)的自功率谱密度函数下的总面积就是信号的平均功率。 4.2.2.3相干函数?xy(f)
相干函数的定义为：
2?xy(f)?2Sxy(f)2Sx(f)Sy(f)2 （4-84）
20??xy?1 (4-85)
其中Sxy(f)是Sxy(f)的共轭复数。?xy(fi)?0表示两个信号在频率fi下不相干；而
2?xy(fi)?0则表示两个信号在频率下完全相干。
由于互功率谱函数Sxy(f)是实变量的复值函数，因此可以将之表示为
Sxy(f)?Cxy(f)?jQxy(f) (4-86)
式中 Cxy(f)——共谱密度；
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第四章 信号分析
Qxy(f)——重谱密度。
4.2.2.4.频域统计特征量
频域统计特征量主要有谱图的均方频率、谱重心、谱方差以及谱的一步自相关等。即：
fX(f)df?a)谱的均方频率： MSF? （4-87a） ?X(f)df2离散化表示： MSF??fi?0N?12iX(fi) （4-87b）
ii?0N?1?X(f) （4-88a）
b)谱重心： FC?N?1?fX(f)df?X(f)dfi离散化表示：FC??fX(f)ii?0N?1i?0 （4-88b）
i?X(f)2(f?FC)X(f)df?c)谱方差： VF??X(f)df?(fi?0N?1i （4-89a）
?FC)2X(fi) （4-89b）
i离散化表示： VF??X(f)i?0N?1谱的均方频率与谱重心描述的是频谱谱线能量偏离零频率的程度，当谱的均方频率与谱
重心较小时，表示频谱能量主要集中在低频段，反之，在高频段。 4.2.2.5倒频谱分析
倒频谱就是对功率谱Sy(f)的对数值进行付里叶逆变换的结果，用Cy(?)来表示功率谱Sy(f)的倒频谱，即有
Gy(?)??[lnSy(f)] （4-90）
式中 ?—倒频率(quefrency)，为时间量纲。
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