第四章 信号分析
对功率谱作倒频谱变换的根本原因是，在倒频谱上可以较容易地识别信号的组成分量与提取其中我们所关心的成分。倒频谱的作用就是将复杂的卷积关系变成简单的线性叠加。
对卷积式y(t)?x(t)?h(t)两边取付里叶变换，可得：
Y(f)?X(f)H(f) （4-91）
功率谱的关系式：
Sy(f)?Sx(f)H(f) （4-92） 两边取对数，有 lnSy(f)?lnSx(f)?lnH(f) (4-93) 对上式两边进行付里叶逆变换可得
?[lnSy(f)]??[lnSx(f)]??[lnH(f)] (4-94)
即 ： Cy(?)?Cx(?)?Ch(?) (4-95)
?1?1?12224.3时间序列分析
时间序列即指离散的采样信号，通常是一个随机过程，仍按原采样先后的次序排列，这种排列中包含了机组状态的信息。时间序列的参数模型分析及其谱估计是近年来受到重视的一项新技术。由于快速付里叶变换方法存在几个固有的缺陷，其中最突出的是频率分辨力受到采样长度的限制，其次是数据截取加窗的影响，在频率中表现为能量的“泄漏”。特别是在短数据记录的情况下更为突出，而实际中机组故障源信号等只有很短的数据可用于分析。因而发展一种适于短数据序列的分析处理方法，即时序分析方法。相比于FFT谱分析，时序分析方法称为现代谱分析方法。
4.3.1时间序列分析概述
时间序列分析简称时序分析，它把依某一规律变化的信号(数据)看成是依时间变化而变化的先后有序的数据，在一定的假设前提下，依据某一准则建立起数学模型，以此对原时间序列或对产生这一时间序列的系统进行分析辨识。由于机组运行的动态过程十分复杂，很难从观测数据直接分析系统的变化，所以需要建立一个数学模型对系统作最本质的描述。时序分析的主要目的是通过分析和认识过程特征，更深刻了解机组运行的过程规律，判断机组工况状态的变化趋势。时序分析主要应用于机组工况监视，对在机组故障诊断方面的应用研究正在进行中。
时间序列分析是数理统计学科的一个重要分支，是分析随机过程的一个重要数学工具，分析处理的动态数据应该满足各态历经性假设。在机组故障诊断系统中，往往不对动态数据进行检验，而直接用所得数据建立时序分析数学模型，只要经检验残差满足白
73
第四章 信号分析
噪声条件，即说明前面所得的数学模型适用。
4.3.2时序分析的数学模型
目前在时序分析领域中，应用较广两类的最基本的数学模型为自回归滑动平均模型（ARMA模型）和自回归模型（AR模型）。其它的还有双线性模型、门限自回归模型、指数自回归模型、状态依赖模型等。
4.3.2.1ARMA(n，m)模型(自回归滑动平均模型：Auto Regression Moving Average) 自回归滑动平均模型简称ARMA模型，该模型对于零均值的平稳正态时间序列的处理具有代表性。该模型可用如下的差分方程来描述：假设满足各态历经性假设的随机数据为x1，
x2，…xt?1，xt，…，xN，它们之间的相互依赖关系满足如下方程，即：
xt??1xt?1??2xt?2?...??nxt?n??t??1at?1??2?t?2?...??m?t?m (4-96) xt???xii?1nt?i?at???jat?j (4-97)
j?1m此即n阶自回归m阶滑动平均模型，简记为ARMA（n,m）模型，式中n称为模型的自回归部分( AR)的阶次，m称为模型的滑动平均部分（MA）的阶次。式中，?1、?2、…、
?j?(j?1,2,?m)称为滑动平均系数，残差?t、?t?1、…、?t?m，?n简称为自回归系数，?2均为零均值白噪声序列，即?t满足
E[at]?0，E[at,at?k]????k (4-98) 式中，??为一常数，称为?at?的方差，?k为离散的?或Kroncker ?函数，即
2 ?k??1,k?00,k?0 (4-99)
引入后移算子B，则ARMA模型可表示为：
?(B)xt??(B)at (4-100) 式中
?(B)?1? ??B??1???Bii?1ni (4-101a)
??Bjj?1mj （4-101b）
同时可以用传递函数来表示 xt??(B)at （4-102） ?(B)?(B)因此ARMA(n,m)模型的序列?xt?可以视为一个传递函数的系统在白噪声激励下
?(B)的响应。
ARMA(n,m)模型表明，当前时刻的取值?t不仅与前n个取值xt?1，xt?2，…xt?n有
74
第四章 信号分析
?t?2，关，而且还与前m个时刻的随机干扰?t?1，…?t?m有关。若m=0，就可以不考虑{at?j}序列对数据序列的影响，认为系统的主要信息都用观测值?xt?i?本身的相关性描述。
当?1??2?...?m?0时,ARMA(n,m)模型即退化为AR(n)模型，即
xt??1xt?1??2xt?2?...??nxt?n??t （4-103）
此时表明，当前时刻的取值只与其前个n时刻的取值xt?1，xt?2，…xt?n和当前时刻的随机干扰at有关。 4.3.2.2特征函数与特征值
设AR模型的特征根为??I?,i?1,2,?n，这些特征根就是AR模型的极点，它决定了系统的
稳定性，AR模型的渐进性稳定条件为：
?i?1, i?1,???,n （4-104）
若ARMA模型是稳定的，对传递函数进行变换可得：
xt?K?0?G?KBat?kK?0?Gk?Kat?K （4-105）
称Gk(k=0,1,?)为格林函数。格林函数反映的是系统受到单位脉冲作用后的响应序列。格林函数的计算式：
GK??gi?i （4-106a）
i?1n
gi??in?m?1?(?j?1nmi??j) (4-106b)
?(?K?1K?ii??K)其中??i?,i?1,2,?n与?j,j?1,2,?m分别是模型的自回归部分不重特征根和滑动部分特征根，满足?i?1, i?1,???,n。
??4.3.3时间序列分析在故障诊断中的应用
4.3.3.1用以求机组系统的频响函数及信号的频率构成信息
机组系统的频率响应函数表征了机组系统的频域特性，其定义为Green函数的付里叶变换：
[Gk] (4-107) Hx(w)??
75
第四章 信号分析
信号自谱定义为自协方差函数的付里叶变换：
[Rk] (4-108) Sxx(w)??式中，Rk为自协方差函数，其定义为 对于零均值平稳系列，有：
Rk?cov(xtxt?k)?E?(xt?Ext)(xt?k?Ext?k)? (4-109)
Rk?E(xtxt?k)
??????????E???Giat?i????Gjat?k?j??
??j?0?????i?0???a2?GGjj?0?j?k (4-110)
4.3.3.2模式识别
时间序列诊断的实质就是利用时序方法对检测信号进行模式识别。设有K种典型故障，每种故障可以用n个特征参数构成一个特征向量FRj(i),i?1,2,?n，式中R表示由典型故障原因构成的，典型故障的特征矩阵：
???fR1(1)?FR1??f(1)??FR??FR2???R2????????F?Rk??fRk(1)fR1(2)?fR1(n)?fR2(2)?fR2(n)?? (4-111) ?????fRk(2)?fRk(n)?矩阵元素fRj(i),i?1,2,?n,j?1,2?k为第j种典型故障所建立的AR模型的第I个特征参数组成。对于M组待检数据，可建立M个对应的AR模型而构成待检特征矩阵：
???fW1(1)F?W1??f(1)??FW??FW2???W2????????FWm???fWk(1)fW1(n)?fW2(2)?fW2(n)?? (4-112) ?????fWk(2)?fWk(n)?fW1(2)?利用时间序列进行模式识别原理如图：
76
第四章 信号分析
待检模式 判别函数 典型故障模式 图4-3模式识别原理
计算出待检模式与K个典型故障模式矢量之间距离函数的计算，可得到一个距离值的序列： DWjRi?DWjR1?DWjR2?DWjRk （4-113）
?对距离值进行从小到大的排序，该排序说明了待检模式属于某种故障的可能性大小。
判别函数又称为距离函数，分为几何距离和信息距离函数，对于这两种函数的计算见第五章。
4.3.3.3趋势分析
若序列x1,x2,..,xt为平稳时间序列，以Xt表示，该序列表示在t时刻及其以前机组的状态观测值的记录，对该观测序列的t+k步作出某种最优意义的估计，称为该估计值为t时刻k步预报xt(k)。由于选择的是最优估计，所以有许多最优准则供选择，准则不同，预报值也不一样，常用的有线性预报、线性最小方差预报和条件均值预报。
（1）线性预报
设序列x1,x2,..,xt为平稳时间序列，它的AR(n)模型为：
?xt??1xt?1??2xt?2?...??nxt?n??t （4-114）
根据推导，可得其下一步预测值为
xt?1??1xt??2xt?1?...??nxt?n?1 (4-115) 其第k步预测值为
xt?k??1xt?k?1??2xt?k?2?...??nxt?k?n (4-116)
当k=n时
xt?k??1xt?n?1??2xt?n?2?...??nxt (4-117)
当k>n时
xt?k??1xt?k?1??2xt?k?2?...??nxt?k?n (4-118)
（2）线性最小方差估计
77