第四章 信号分析
Winger分布对与信号为双线性表示。
Winger分布的特征函数为：
M(?,?)???ej?t?j??W(t,?)dtd?
?12?1/1/j?/?/j?t?j??es*(t??)s(t??)ed?dtd? ???2211???ej?t?(???/)s*(t??/)s(t??/)d?/dt2211??s*(t??)s(t??)ej?tdt
22
?A(?,?) （4-148） Winger分布具有许多特性：
1）实值性
Winger分布总是实的，证明如下：
W*(t,?)?111s(t??)s*(t??)ej??d? ?2?221??11?j?? ??s(t??)s*(t??)ed? ??2?221??11?j???s(t??)s*(t??)ed? ??2?22 ?W(t,?) （4-149）
2）对称性
W(t,?)?W(?t,?) ，对于实信号?对称频谱S(?)?S(??)
W(t,?)?W(?t,?) ，对于实频谱?对称信号s(t)?s(?t)
3）Winger的边缘分布
Winger分布满足时-频边缘分布
（4-150a） ?W(t,?)d??s(t)
W(t,?)dt?S(?) （4-150b）
同时也满足总能量条件，即： E?4）位移性 如果s(t)?e
j?0t2?2 ??W(t,?)d?dt??s(t)d??1 （4-151）
2s(t?t0)，那么W(t,?)?W(t?t0,???0) ，用Wsh(t,?)表示位移
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第四章 信号分析
分布，则：
W(t,?)?111?j?0(t??/2)j?0(t??/2)es*(t?t??)?es(t?t??)e?j??d? 00?2?22111?j?(???0)?s*(t?t??)s(t?t??)ed? 002??22=
（4-152）
5）反变换与唯一性
W(t?t0,???0)
11s(t)的Winger分布是s*(t??)s(t??)对?的付里叶变换，其反变换为：
2211（4-153） s*(t??)s(t??)??W(t,?)ej??d?
22取t??，令k?1*，然后令??t，就有
2s(0) s(t)?kW(t/2,?)e上式说明信号或常数可以由Wigner分布恢复。 6）信号的叠加
假定一个信号表示成两段信号之和s(t)?s1(t)?s2(t)，它的Winger分布为：
（4-155） W(t,?)?W11(t,?)?W22(t,?)?W12(t,?)?W21(t,?) 式中：
?jt?d? （4-154）
W12(t,?)?111?j??（4-156a） s*(t??)s(t??)ed? 12?2?22111?j?? W12(t,?)?S*(???)S(???)ed? （4-156b）12?2?22*上式叫做交叉Winger分布，存在W12(t,?)?W21(t,?)，因此有：
W(t,?)?W11(t,?)?W22(t,?)?2Re?W12(t,?)? (4-157)
从上可见，两个信号和的Winger分布不是每一个信号的Winger分布之和，而是存在一个附
W12(t,?)?，这个附加项叫做干扰项或交叉项。 加项2Re?交叉项是在信号Winger分布中产生的，在许多问题中，可以利用莫耶定理[10]证明是两信
号叠加时存在的，且为：
?s(t)s12*(t)dt?2???W1(t,?)W2(t,?)dtd? (4-158)
27）信号之积
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第四章 信号分析
两个信号s(t)?s1(t)s2(t)之积的Winger分布为：
W(t,?)??W1(t,?/)W(t,???/)d?/ [对于s(t)?s1(t)s2(t)] (4-159) W(t,?)??W1(t/,?)W(t/?t,?)dt/ [对于S(?)?S1(?)S2(?)] (4-160)
8）Winger分布与频谱图的关系
在时间和频率上计算信号的Winger分布与窗函数的Winger分布的卷积，即可得到频谱图：
PSP(t,?)???Ws(t/,?/)Wh(t/?t.???/)dt/d?/ (4-161)
?12?2?e?j??ss(?)h(??t)d?
4.5小波变换原理
短时Fourier变换以固定的滑动窗对信号进行分析，从而可表征信号的局域频率特征。时域的滑动窗处理等效于频域以滤波器组将信号分频段滤波，各滤波器的频率特性形状相同，只是各中心频率沿分析的频带等间隔的分布。很明显，这种时域等宽的分析方法并不是对所有信号都适用。法国地球物理学家Morlet 于80年代在分析人工地震勘探信号时，发现这类信号在低频段具有很高的频率分辨率，而在高频段的频率分辨率可以较低。因此，Morlet 提出了一种新的信号分析方法—小波分析。小波分析的目的是“既要看到森林（信号的概貌），又要看到树木（信号的细节）”，因此，被称为数学显微镜。
真正的小波热始于1986年，当时Meyer创造性地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，且二进制伸缩与平移
{?j,k(t)?2?j/2?(2?jt?k):j,k?Z} (4-162)
构成L2(R)的规范正交基。继Meyer提出小波之后，Lemarie 和Battle 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换的分解与重构，从而统一了前人所提的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化[2]。
4.5.1预备知识
记IR为实直线，是实数域；IRs为s维实数空间，IRs=IR×IR×??IR(s次)；