概率论与数理统计及其应用习题解答
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。 解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为
P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)
?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)
1 3 4 第20题 5 2 ?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)
?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
?p2?p?p2?p3?p4?p3?p5 ?p?2p2?2p3?p4?p5
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得
P(A|B)?
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)11
概率论与数理统计及其应用习题解答
又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，P(C|A)?0.9，所以
22P(B|A)?C3?0.82?(1?0.8)?0.384；P(B|A)?C3?(1?0.9)2?0.9?0.027
故，
P(A|B)?P(A)P(B|A)0.4?0.3840.1536???0.9046P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.4?0.384?0.6?0.0270.1698
（第1章习题解答完毕）
第2章
1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k此有
随机变量及其分布
?1个人都不是A型血，因
P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以
Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则
P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}
?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?(1?0.8)2?(1?0.8)2?(1?0.8)3?0.072，
类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.83?0.512，
P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为
X 0 0.072 1 0.512 2 0.416 1 P{X?k}
A 2 3 B 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是
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概率论与数理统计及其应用习题解答
否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。
（1）P(X（2）P(X3?3)?C15?0.23?0.812?0.2501,
?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；
X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129；
（3）P(1?（4）P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)
?P(X?1)?P(X?0)?0.0611
4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有
k(0?k?n)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设
每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
X?P(X?k)??Ck?3k?355k5?0.9k?0.15?k?0.99144
5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
kP(X?7)?P(X?6)??C80000.001k?0.9998000?kk?06
6(8000?0.001)ke?8000?0.0018ke?8。 ?????0.3134（查表得）
k!k!k?0k?06
6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~?(10)，求P{X（2）已知随机变量X~?(?)，且有P{X解：（1）P{X?15}
?0}?0.5，求P{X?2}。
?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487；
13
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（2）根据P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以
P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.5??e???(1?ln2)/2?0.1534。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数
X~?(2t)（设各人收到讯息与否相互独
立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数（1）P{XX~?(2)。
?0}?e?2?0.1353；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
44P{Y?4}?C50.1353?(1?0.1353)?0.00145。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
?2ke?2???k!k?0?????32ke?10?5?????k?0??k!??5?? ??
8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为
?kx2f(x)???00?x?11， （1）确定k；（2）求P{X?}；
其他3（3）求P{112?X?}；（4）求P{X?}。 423??1解：（1）根据1????f(x)dx??kx2dx?0k，得到k?3； 3；
1（2）P{X?}?31/31?1?3xdx?????27?3?021/233117?1??1?2（3）P{?X?}??3xdx???????；
421/42464????219?2?2（4）P{X?}??3xdx?1????327?3?2/3
9，设随机变量X的概率密度为有实根的概率。
133。
?0.003x2f(x)???00?x?10其他，求t的方程t2?2Xt?5X?4?0 14
概率论与数理统计及其应用习题解答
解：方程t从而要求
2?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即X2?5X?4?0，
X?4或者X?1。因为
1210P{X?1}??0.003xdx?0.001， P{X?4}??0.003x2dx?0.936
04所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；
x?0
其他（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
1解：（1）P{X?1}????x?x2/200edx?1?e?1/200?0.00498； 1000x?x2/200（2）P{X?52}?； edx?e?2704/200?0.000001?10052??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}?P{X?20}x?x2/200edx?10026x?x2/200edx?10020???e?276/200?0.25158。
11，设实验室的温度X（以
?
C计）为随机变量，其概率密度为
?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9
其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实
验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。
（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。
2解：（1）P{X15； ?1}??(4?x2)dx?9271~B(10,5)，所以其分布律为 2715
（2）根据题意Y