概率论与数理统计及其应用习题解答
因为E(X)??kP{X?k}?4/7， E(Y)??k2P{Y?k}?27/28，
222k?0k?022所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112， ?XY?Co(vX,Y)D(X)D(Y)??5。 5（2）根据16题结果可得：
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/75；
211?y因为 E(X2)?E(Y)?2R?R??x22f(x,y)dxdy??dy?24x3ydx?1/5，
0011?yR?R3yf(x,y)dxdy?dy24y????xdx?1/5，
00所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?1/25，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1/25
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，
?XY?2??。 3D(X)D(Y)Cov(X,Y)（3）在第2章14题中，由以下结果
X 0 1 2 P{Y?k} Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；
D(X)?E(X2)??E(X)??0.6004，D(Y)?E(Y2)??E(Y)??0.5444,
22 36
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?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.2724?0.4765. 0.571722，解：根据题意有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。
D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)
?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。
23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以
EX1(X2?4X3)2?E(X1)E[(X2?4X3)2]?E[X2?8X2X3?16X3]
?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]
2222?2?222?1?0?16?17。
i?1,2,3。（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(Xi2)?D(Xi)??E(Xi)?2?1/3，
E(X1?2X2?X3)2?E[X1?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]
?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?222??22214111???1??1?。 333221x24，解：因为 E(X)?E(Y)?R?R??xf(x,y)dxdy??dx?xdy?2/3，
0?x1x0?xR?R??yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0，
1xR?RE(XY)???xyf(x,y)dxdy??dx?xydy?0，
0?x所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。
?x?x1dy?2x，0?x?1； 又因为，fX(x)??f(x,y)dy???????0,其他??? 37
概率论与数理统计及其应用习题解答
?1，?1?y?0??1dx??y?1?y，0?y?0.5??1???fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1??1?y，0.5?y?1，
???y?0，其他??0，其他???显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了X,Y不是相互独立的。 25，解：引入随机变量定义如下
?1第i个球落入第i个盒子 Xi??0第i个球未落入第i个盒子?则总的配对数X??Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X~N(n,)。
i?1n1n1n故所以，E(X)?n??1。
1n第4章 正态分布
P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z?1.24}，
（2）设Z~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147，P{Z?b}?0.0526，求a,b。 解：（1）P{Z?1.24}??(1.24)?0.8925，
P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986
（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；
P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62。
38
概率论与数理统计及其应用习题解答
2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 解：因为X~N(3,16)，所以
X?3~N(0,1)。 44?3X?38?3P{4?X?8}?P{??}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.29574445?30?3P{0?X?5}??()??()?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。
44
3，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。 （2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95。
解：（1）因为P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?2?()?1
CC?2.0，C?12.0。
66X?3C?3~N(0,1)，所以P{X?C}?1??()?0.95，即 （2）因为22C?33?C3?C?()?0.05,或者?()?0.95，从而?1.645，C??0.29。
222C6C6C6所以得到?()?0.9772,即
4，已知美国新生儿的体重（以g计）X~N(3315,5752)。 （1） 求P{2587.75?X?4390.25}；
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小
于2719的个数，求P{Y?4}。
X?3315~N(0,1)。 5754390.25?33152587.75?3315)??() （1）P{2587.75?X?4390.25}??(575575解：根据题意可得
)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655 ??(1.87)??(?1.2648（或0.8673）
（2）P{X?2719}??(2719?3315)?1??(1.04)?0.1492， 575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以
kP{Y?4}??C25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。
k?04 39
概率论与数理统计及其应用习题解答
5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为
P{X?8}P{X?8|X?5}??P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则
X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)
（1）P{11.7?X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}
12.3?11.911.7?11.9?22 ??????(2)??(?1)?0.8185?0.6699； ?()??()??0.20.2??2（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为
?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2 ?1?0.99382?0.0124。
7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值??160，均方差为?的正态分布，若要求P{120?X?200}?0.80，允许?最大
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