概率论与数理统计及其应用习题解答
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度
f(x,y)必定是一常数，故由
1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?1?3,(x,y)G0x23f(x,y)，得到f(x,y)???G。 ?0，其他???x2（2）
f(x)???3dy?3(x?x)，0?x?1X??f(x,y)dy??2；
??x?0,其他?y?????3dx，0?y?12?3(y?y2)，0?y?1f(x,y)dx??y???Y(y)??f?。 ????0，其他??0，其他??（3）当0?x?1时，
ff(x,y)??1,x2?y?xY|X(y|x)?f(x)???x?x2。
X?0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为
?4f5)???,1/4?y?2/2Y|X(y|0.?22??0,1。
其他
21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为
?f)??2?x?6，0?x?2X(x
??0,其他且当
X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为
?f?1?xy,0?y?1Y|X(y|x)??1?x/2，
??0,其他（1） 求(X,Y)联合概率密度；
（2） 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度； （3） 求在Y?y的条件下X的条件概率密度
fX|Y(x|y)。
21
概率论与数理统计及其应用习题解答
解：（1）
?1?xy?f(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)??3??0??0?x?2,0?y?1；
其他（2）
?21?xy2dx?(1?y)0?y?1??fY(y)??f(x,y)dx??033???0其他??y?1时，
；
（3）当0?1?xy,0?x?2f(x,y)?fX|Y(x|y)???2(1?y)。
fY(y)?其他?0,
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为
Y -1 0 1 pk ?? 1?? 22又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求
P{Y1?Y2}。
（2）问在14题中X,Y是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为
P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1
结果写成表格为
Y1 Y2 -1 0 1 -1 0 1
?2/4 ?(1??)/2 ?(1??)/2 (1??)2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)2??2/2。
（2）14题中，求出边缘分布律为
X Y 0 1 2 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 P{X?i} 0.24 0.38 0.38 22
概率论与数理统计及其应用习题解答
0.16 0.34 0.50 1 P{Y?j} 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。
23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为
f)???8y0?y?1/2Y(y
?0其他试写出
X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。
解：根据题意，X的概率密度为
fx)???10?x?1X(
?0其他所以根据独立定，
X,Y的联合概率密度为
f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)??。 ?0其他1/21P{X?Y}?f(x,y)dxdy?x???y?dx?8ydx?20y3
24，设随机变量X具有分布律 X -2 -1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2?1的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为
Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30
25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。
解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，
23
概率论与数理统计及其应用习题解答
2
f?u2/2U(u)??F'U(u)??2fX(u)??e。
?2f(u)???u2/2所以，
0U??eu???0u?0。
26，（1）设随机变量X的概率密度为
(x)???e?xfx?0?0其他
求Y?X的概率密度。
（2）设随机变量
X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量
X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。
解：设X,Y的概率密度分别为
fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则
（1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；
当
y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?FX(y2)，
f2Y(y)??FY(y)?'?2yf2X(y)?2ye?y。
?y2所以，
f???2yey?0Y(y)??y?0。 ?0（2）此时
f???1/2?1?x?1X(x)。
?0其他因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故，
f'Y(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,?1?2y?1?1，
所以，
f???10?y?1Y(y)。 ?0其他（3）当
y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}
??(y)??(?y)?2?(y)?1，
24
概率论与数理统计及其应用习题解答
故，
fY(y)??FY(y)??2fX(y)'12y?12?ye?y/2。
所以，
?1e?y/2?fY(y)??2?y?0?y?0。
其他
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。
2
解：圆面积A??X，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则
G(y)?P{?X2?y}?P{X?y/?}?FX(y/?)， 故
g(y)??G(y)??'12?yf(y/?)?12?y?3y??8??3y??16?y,0?y/??2
?3y???所以，g(y)??16?y?0?
0?y?4?其他。
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为
?z?z2/(2?2)?efZ(z)???2?0?解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
z?0。
其他f(x,y)?先求分布函数，当z12??2e?x2?y22?2。
?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z2}
2?z?2x?y?z??2f(x,y)dxdy??d??21022??0e?r22?2rdr?1?e?z22?2，
25