概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1??k?166k22?2?k?n?(?1)k?1k?1??16ln2?2， k?xn因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)（不符书上答案） ,?1?x?1）
n?1n?0?
6，解：（1）一天的平均耗水量为
x2e?x/3x2E(X)??xf(x)dx??dx???d(e?x/3)?0?93??00??????????2xe?x/3dx???2xd(e?x/3)?300?? ?0??2e?x/3dx?6（百万升）。
0（2）这种动物的平均寿命为
25E(X)??xdF(x)??xd(1?2)?x??5??????50。 dx?10（年）?25x
7，解：E(X)??xf(x)dx??42x(1?x)dx???7x2d?(1?x)6?
25??00??11??7x(1?x)2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)67000117101??2(1?x)7dx0=1/4。
??28，解：E(X)??xf(x)dx??2x(1?1/x2)dx?(x2?2lnx)1?3?2ln2。
??12
3x3x9，解：E(X)??xf(x)dx??(1?x)2dx??(1?x)2dx
22???10??01 31
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3x3x??(1?x)2dx??(1?x)2dx?0。
2210（对第一个积分进行变量代换x??y）
01
10， 解： E(sin?X?k??k)???sin?C4?pk?(1?p)4?k? 22?k?0?413（不符书上答案） ?C4?p1?(1?p)3?C4?p3?(1?p)1?4p(1?p)(1?2p?2p2)。
?1/a,0?x?a11，解：R的概率密度函数为f(x)??，所以
0,其他?aE(V)??0?r31?a3。 ?dr?6a24
??42?0.3x??12，解：E[g(X)]??g(x)f(x)dx??x?0.3e??0dx??16?0.3e?0.3xdx
41?(200?584e?1.2)（不符书上答案） 9
x?0?0,?13，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)??x,0?x?1，所以可以
?1,x?1?求出Y1,Yn的分布函数为
0,y?0y?0??0,??Fmin(y)??1?(1?y)n,0?y?1， Fmax(y)??yn,0?y?1。
??1,1,y?1y?1??Y1,Yn的密度函数为
?n(1?y)n?1,0?y?1?nyn?1,0?y?1fmin(y)??，fmax(y)??。
其他其他?0,?0,所以Y1,Yn的数学期望为
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??1n?111n?1E(Y1)??yfmin(y)dy??ny(1?y)dy??n(1?y)dy??n(1?y)ndy?1， ??000n?1??1E(Y?yfnn)?max(y)dy????nyndy?0n?1。
14，解：求出边缘分布律如下
X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)??kP{Y?k}?3/4，
k?0k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，
j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，
j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。
j?0i?0
15，解：22E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，
j?0i?022E[Y/(X?1)]???jP{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。
j?0i?0i?1
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11?y16，解：E(X)?E(Y)?R?R2xf(x,y)dxdy?dy24x????ydx?2/5，
0011?yR?R2yf(x,y)dxdy?dy24y????xdx?2/5，
0011?y2E(XY)?R?R??xyf(x,y)dxdy??dy?24x00y2dx?2/15。
17，解：根据题意，可得利润的分布律为
Y 2000 1000 0 -1000 -2000
pk 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 因此，
E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元）
E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000。 D(Y)?E(Y2)??E(Y)??14400002
????18解E(X)??xf(x)dx???????0x22e?x2/(2?2)dx??xe?x2/(2?2)??0????e?x0??02/(2?2)dx???2，
??2E(X)?2???xf(x)dx???00x32e?x/(2?)22dx??xe2?x/(2?)22????2xe0?x2/(2?2)dx??2?e2?x2/(2?2)???2?2，
D(X)?E(X2)??E(X)??(2??/2)?2，D(X)?(2??/2)?。
2??（本题积分利用了e0??x2/2dx??2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
19，解：E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)k?1?p?k?1k?1????11， ?2pp34
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E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)222k?1k?1????k?1??????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?k?1?k?1? ?p(2121?)??， p3p2p2p111?p??2。 2ppp??所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?p)k?1，
k?1?p?1k??1。类似的，设则?s(p)dp???(1?p)?1?，所以s(p)??s(p)dp???pp2k?11?1?p??'S(p)??k(k?1)(1?p)k?1??k?1(1?p)2，则经过两次积分以后可得到，在经过
p两次求导得到S(p)?
2。 3pk?k20，解：（1）当k?1时，E(X)??xf(x)dx??kdx?k?k???x????????1k?。 dx?k?k?1?x（2）当k?1时，E(X)???dx???，即E(X)不存在。
?1xk?kk?2（3），当k?2时，E(X)??xf(x)dx??k?1dx?，
k?2???x22?????1k?k?2所以，D(X)?E(X)??E(X)??k??。 ??2?2k?2(k?1)(k?1)(k?2)??2222?2（4）当k?2时，E(X)??xf(x)dx?? dx???，所以D(X)不存在。
???x22????
21，解：（1）根据14题中结果，得到
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；
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