第四章 向量组的线性相关性
§1 向量组及其线性组合
本章主要介绍线性代数的几何理论, 把线性方程组的理论翻译成几何的语言(也就是翻译成向量的语言). 所以这一章中的关键是要把一些基本概念掌握好.
在平面几何中, 平面上的向量是有向线段. 三维空间中的向量也是有向线段.
在平面中建立直角坐标系后, 平面中的任何一个向量都有坐标??y??, 或记为(x,y).
??2?x????x?:=???x,y????y???? 平面中的所有向量与??2中的元素一一对应.
?x???类似的空间中建立坐标系后,空间中任何一个向量都有坐标?y?, 或记为 (x,y,z).
?z?????x????3:???y?x,y,z???z????2???. 空间中的所有向量与??32中的元素一一对应.
中元素称为2维列向量, 中元素称为3维列向量. 2维列向量和3维列向量都有几何直观, 就是有向线段,
定义: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量.
???x1???x1????????xx???2? , 列向量用?,?,?表示, n:???2?xi?, 1?i?n?. ?n维列向量????? n维向量??????????xn???xn?????n维行向量(x,,x), 行向量用?T,?T,?T表示. 1n?向量组: 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合.
?A1???设矩阵Am×n?(?1,,?n)???, 则矩阵A的所有列向量是一个含有n个m维列向量的
?A??m?向量组, 矩阵A的所有行向量是一个含有m个n维行向量的向量组, 所以矩阵可以等同于
含有有限个向量的向量组. 矩阵是联系方程组理论与几何理论的纽带.
我们先讨论只含有有限个向量的向量组,以后再把讨论的结果推广到含无限个向量的向量组. 首先我们给出向量组的线性组合的定义和一个向量可由另一个向量组线性表示的定义.
定义. 给定一个向量组?1,?,?m, k1?1??km?m??称为向量组α1,…,αm的线性组合, 其中k1,,km?, β称为可由α1,…,αm线性表示.
利用我们以前讲过的线性方程组的理论,我们可以得到向量可由向量组线性表示的充要条件. 定理1. ?可由?1,?,?m线性表示
1
?x1??????x1?1???xm?m???1,?,?m????有解?秩(?1,?,?m)?秩(?1,?,?m,?).
?x??m?第一个 充要条件是根据线性表示的定义, 第二个充要条件是根据线性方程组有解的充要条件, 线性方程组有解当前仅当它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 注意: 在本章中的定理叙述都是对列向量来叙述的.
我们刚才介绍了一个向量可由另一个向量组线性表示的概念, 现在我们介绍一个向量组可由另一个向量组线性表示的概念和向量组等价的概念.
定义. 设有两个向量组A:?1,?,?m及B:?1,?,?l. 若B组中每个向量?i可由向量组A线性表示, 则称向量组B可由向量组A线性表示, 若向量组A与向量组B相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
例???0??,??1???等价. ?0??,??1??,??2???与??????????????????若向量组{?1,?,?l}可由向量组{?1,?,?m}线性表示, 则存在数kij, 使
??1??0??1?????1??0????k1j????j?k1j?1???kmj?m?(?1,?,?m)???, 1?j?l.
?k??mj??k11?k1l?????. 所以(?1,?,?l)?(?1,?,?m)???k??m1?kml?矩阵Km?l?(kij)称为这一线性表示的系数矩阵. 记A?(?1,,?m)B?(?1,,?l).
对这个关系式我们可以做三种解释: 矩阵语言: B是A与K的乘积矩阵. 方程语言: K是矩阵方程AX?B的解.
几何语言: 向量组{?1,?,?l}可由向量组{?1,?,?m}线性表示.
利用我们以前讲过的线性方程组的理论, 我们立刻可以得到一个向量组可由另一个向量组线性表示的充要条件.
定理2. 向量组?1,?,?l可由向量组?1,?,?m线性表示 ?矩阵方程(?1,?,?l)?(?1,?,?m)X有解
?矩阵(?1,?,?m)的秩?矩阵(?1,?,?m,?1,?,?l)的秩.
第一个 充要条件是根据线性表示的定义, 第二个充要条件是根据矩阵方程有解的充要条件, 矩阵方程有解当前仅当它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 由上面的定理, 我们可以得到两个向量组等价的充要条件. 推论. 向量组{?1,,?m}与向量组{?1,?,?l}等价
?R(?1,?,?m)?R(?1,?,?l)?R(?1,?,?m,?1,?,?l).
以前我们介绍过矩阵的等价, 在这里我们又介绍了向量组的等价, 下面我们看一看矩阵的等价和向量组等价之间的关系.
注意. 若矩阵A与B行等价, 则A的行向量组与B的行向量组等价 若矩阵A与B列等价, 则A的列向量组与B的列向量组等价. 但是A与B等价?A的行向量组与B的行向量组等价
A与B等价?A的列向量组与B的列向量组等价.
?? 2
?1??1??1??1??????????10?1??2?例1. 设?1???, ?2???, ?3???, ????.
?4??3?21?????????2??3?0???1?????证明向量?可由向量组?1,?2,?3线性表示, 并求出表示式. ?1??x1????0证: 求解方程组(?1,?2,?3)?x2???. (?1,?2,?3,?)?行变换????0?x???3??0?所以R(?1,?2,?3)?R(?1,?2,?3,?)?2.
??3??2???3c?2???????(?1,?2,?3)X??的通解为X?c?2????1???2c?1?.
?1??0??c?????????3c?2???所以??(?1,?2,?3)?2c?1??(?3c?2)?1?(2c?1)?2?c?3. □
?c???下面我们再介绍关于线性表示的两个结论.
性质.(线性表示的传递性) 若?可由?1,?2,?,?l线性表示, 性表示. 则?可由?1,?,?m线性表示. 证: 设??k1?1?k2?2?032??1?2?1?.
000??000???1,?2,?,?l可由?1,?,?m线
?kl?l.
由条件每个向量?i都是向量组?1,?,?m的线性组合, 把它们带入上面的式子, 我们可以把?写成?1,?,?m的线性组合. □定理3. 设向量组?1,?2,?,?l可由向量组?1,?,?m线性表示.
则R(?1,?,?l)?R(?1,?,?m).
证 (?1,?,?l)?(?1,?,?m)X有解.
所以R(?1,?,?m)?R(?1,?,?m,?1,?,?l)?R(?1,?,?l). □例. 设Am?n?(?1,?,?n)(按列分块), Em?(e1,?,em)(按列分块). 证明向量组e1,?,em可由向量组?1,?,?n线性表示?R(A)?m.
证: e1,?,em可由?1,?,?n线性表示?E?AX有解?R(A)?R(A,E).
而m?R(E)?R(A,E)?m. 所以e1,?,em可由?1,?,?n线性表示?R(A)?m. □
§2 向量组的线性相关性
线性相关的概念是平面当中两条直线平行和三维空间中三条直线共面概念的推广. 我们首先给出线性相关和线性无关的定义.
定义. 给定向量组?1,?,?m, 若存在不全为0的数k1,?,km, 使k1?1???km?m?0, 则称向量组?1,?,?m线性相关, 否则称之为线性无关. 平面上两个向量?1,?2线性相关??1,?2共线.
三维空间中三个向量?1,?2,?3线性相关??1,?2,?3共面.
?线性相关???0, ?线性无关???0.
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利用我们以前讲过的线性方程组的理论, 我们可以给出向量组线性相关和线性无关的充要条件.
?x1???定理4. 向量组?1,?,?m线性相关???1,?,?m?????x1?1???xm?m?0有非零解.
?x??m? ?R??1,?,?m??m(向量个数).
?x1???向量组?1,?,?m线性无关???1,?,?m?????x1?1???xm?m?0只有零解
?x??m??R??1,?,?m??m(向量个数).
第一个充要条件是根据线性相关的定义, 第二个充要条件是根据齐次线性方程组有非零解的充要条件. 齐次线性方程组有非零解当且仅当它的系数矩阵的秩小于未知数的个数.根据上面的定理, 我们知道一个向量组线性相关当且仅当这个向量组对应的矩阵的秩小于向量组所含向量的个数, 一个向量组线性无关当且仅当这个向量组对应的矩阵的秩等于向量组所含向量的个数.
特别的, 设An?n?(?1,?,?n)(按列分块). 则向量组?1,,?n线性相关?AX?0有非零解?R?A??n?|A|?0?A不可逆 ?1,?,?n线性无关?AX?0只有零解?R?A??n?|A|?0?A可逆.
我们前面介绍了线性表示的概念, 下面我们来看一看线性表示和线性相关这两个概念之间的关系.
性质. 向量组?1,?,?m(m?2)线性相关?其中某个向量可由其余向量线性表示. 证: “?”存在不全为0的数k1,?,km, 使k1?1???km?m?0.
k1kkk?1???i?1?i?1?i?1?i?1???m?m. kikikiki“?”设?i?l1?1???li?1?i?1?li?1?i?1???lm?m.
设ki?0, 则?i??则l1?1???li?1?i?1??i?li?1?i?1???lm?m?0,
l1,?,li?1,?1,li?1,?,lm不全为0(至少?1?0). 所以?1,?,?m线性相关. □例1. E?(e1,?,en)(单位矩阵), 则e1,?,en线性无关. (因为R(E)?n). □
?1??0??2???????例2. 已知?1??1?, ?2??2?, ?3??4?. 试讨论向量组?1,?2,?3及向量组?1,?2的线性
?1??5??7???????相关性.
?102???行变换???022?. R(?1,?2,?3)?2?3, 所以?1,?2,?3线性相关. 解. (?1,?2,?3)???000????10???(?1,?2)?行变换????02?. 所以R(?1,?2)?2, 所以?1,?2线性无关. □
?00???例3. 已知?1,?2,?3线性无关, 试证?1,?2,?3线性无关.
证法1. (转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题)
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?1??1??2, ?2??2??3, ?3??3??1.
?101???(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)K, 其中K??110?.
?011????x1???要证?1,?2,?3线性无关, 只要证??1,?2,?3??x2??0只有零解.
?x??3?设??1,?2,?3?X0?0, 则(?1,?2,?3)?KX0??0.
因为?1,?2,?3线性无关, 所以KX0?0. 因为K?0, 所以X0?0. 证法2. (转化为矩阵的秩的问题) 只要证R??1,?2,?3??3.
101?101??101?????(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?110?. 而110?0. 所以?110?可逆.
?011??011?011????所以R??1,?2,?3??R(?1,?2,?3)?3. □
2节课完
例4. 已知向量组?1,?2,,?m(m?2)线性无关, 设?1??1??2,
?m??m??1. 试讨论向量组?1,?2,?m的线性相关性.
0?10?0?11?010解. (?1,?2,?m)?(?1,?2,,?m)K, 其中K????001??001?记B?(?1,?2,?2??2??3,
1??0?0??. ?0??1??,
?m), A?(?1,?2,,?m). 则B?AK.
若|K|?0, 则R(B)?R(A)?m, 所以?1,?2,?m线性无关. 若|K|?0, 则R(B)?R(K)?m. 所以?1,?2,?m线性相关. 所以?1,?2,?m线性无关?|K|?0.
1|K|按第一行展开100111?(?1)m?1100?2 m是奇数?1?(?1)m?1??.1?0 m是偶数1所以?1,?2,?m线性无关?|K|?0 ?m是奇数. □
例5. (2004.6.(8分))(2学分) 已知列向量组?1,?2,?3线性无关, 设?1?k?1??2??3, ?2??1?k?2??3, ?3??1??2?k?3. 问k满足什么条件时, 向量组?1,?2,?3线性无关.
?k11???解. (?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)K, 其中K??1k1?.
?11k???
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