∴ n?r(A)?2?r(A)?2。 又
1143?0。∴ r(A)?2。∴r(A)?2。 (4分)
11?1??11~(2)、增广矩阵A??1?53??0?1?
??004?2ab?4a?54?2a????∴ r(A)?2?a?2，b??3代入求之。 (4分)
?x1?2?2x3?4x4求解：? 得 ?0?(2,?3,0,0)T
?x2??3?x3?5x4?x1??2x3?4x4求解：? 得?1?(?2,1,1,0)T,?2?(4,?5,0,1)T
?x2?x3?5x4通解为：?0?k1?1?k2?2
（k1，k2为任意常数） (7分)
§5 向量空间
在这一节当中我们介绍一下关于向量空间的简单知识, 我们首先来看向量空间的定义. 定义. 设集合V??, V?, 若V对加法和数乘封闭, 即 (1) 对??,??V, 有????V, (2) 对?k?,??V, 有k??V.
则称V为向量空间(或称为线性空间).
这里定义的向量空间中的元素都是n维有序数组, 我们在这本书的最后一章我们会介绍一般的抽象的向量空间的概念. 对于抽象的向量空间来说, 它里面的元素可以不是有序数组, 所以我们在最后一章讨论的向量空间有着更广泛的应用.
向量空间作为向量组的最大无关组称为向量空间的基，向量空间的秩称为向量空间的维数. 定义: 设V为向量空间, 若?1,,?r是V的最大无关组, 则称?1,,?r为V的基, r称为
nV的维数. 记之为dim(V), 并称V为r维向量空间. 若V?{0}, (这个时候V没有基), 则规
定dimV?0. (这里的dim是英文里面dimension 的缩写.) 下面我们来看几个例子. 例1.
n是向量空间. dim(nn)?n(前面已经证明了
n的秩为n). 所以
n的任何n个线
性无关的向量都是的基.
?0???0???1??????x2?n例2. V????x2,,xn???是一个向量空间. e2??0?, ???????0???????x??n??基, 所以dim(V)?n?1.
?0??, en???0?是V?1???的
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??1?????x2例3. V????x2,??????x??n??1???x2证: 因为若???V,
?????xn????,xn???n不是向量空间.
????1??1??1??1?????????yxyx?y2??2??V, 则?2???2???2?V. □
????????????????xyx?yyn??n??n??n?n?例4. 齐次线性方程组Am?nX?0的解集S是一个向量空间, 称S为AX?0的解空间. 且dimS?n?R(A).
|A??0}. 若?1,?2?S, k?则A?1?0, A?2?0.
所以A(?1??2)?A?1?A?2?0, A(k?1)?kA?1?0. 所以S是向量空间. □例5. 非齐次线性方程组Am?nX??的解集S不是向量空间.
证: 因为若S??, 则S不是向量空间. 若S??, ?1,?2?S, 则A?1??, A?2??. 所以A(?1??2)?A?1?A?2?2???(??0). 所以?1??2?S.
所以S不是向量空间. □例6. 设?1,,?m?n, 则L?{????m?m|?1,,?m?}(即为向量组?1,,?m11?证: S?{??的所有线性组合)是一个向量空间. 称之为α1,…,αm生成的向量空间. 例7. 设向量组?1,记L1?{??11?则L1?L2. 证:
n,?m与向量组?1,,?l等价.
??m?m|?1,,?m?}, L2?{?1?1???l?l|?1,,?l?}.
设??L1, 则?可由?1,,?m线性表示?1,,?m与?1,,?l等价??1,,?m可由?1,??可由?1,,?l线性表示. (据线性表示的传递性.) □
,?r为V的基. 则V??k1?1???
,?l线性表示?关于向量空间的基, 我们有下面的两个简单性质. 性质1. 设?1,?kr?r|k1,,kr??.
根据这个性质, 我们如果知道了一个向量空间的一组基, 那么它的结构也就清楚了, 这个向量空间就是这组基的所有的线性组合. 证: 记L??k1?1??kr?r|k1,,kr??.
因为每个?i都是V中的向量, 而V是向量空间, 所以V对加法和数乘封闭, 所以?这个向量组的任何线性组合都是V中的元素. 所以L?V.
反之, 因为?这个向量组是V的最大无关组, 所以根据最大无关组的等价定义知道V中的任何向量可由?这个向量组线性表示. 对任何??V, ?可由?1,,?r线性表示, 所以
??L. 所以V?L. 所以V?L. □性质2. 设?1,,?r是向量组?1,,?m的最大无关组, L是由向量组?1,,?m生成的向量空间. 则?1,,?r是L的一组基.
根据这个性质, 一个向量组的任何一个最大无关组是它生成的向量空间的一组基, 一个向量组的秩是它生成的向量空间的维数.
证: 因为?1,,?r线性无关, 所以根据最大无关组的等价定义, 我们只要证任何??L, ? 可由?1,
,?r线性表示.
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因为L是由向量组?1,,?m生成的向量空间, 所以若??L, 则?可由?1,,?m线性表示,
因为?1,,?r是向量组?1,,?m的最大无关的向量组, 所以根据最大无关组的等价定义知道?1,,?m可由?1,,?r线性表示, 所以根据线性表示的传递性知道?可由?1,,?r线性表示. 在平面解系几何当中, 我们为了研究几何对象, 我们引进了坐标系的概念, 并且引入了坐标的概念. 引进了这两个概念以后, 我们就可以用代数的方法来研究几何对象. 对于线性空间来说, 我们也可以引入坐标的概念. 下面我们来看一下向量空间中坐标的定义. 定义. 设?1,??1???,?r是V的一组基. 则???V, 存在唯一的???????r?r, 使
??1???1???????1?1???r?r?(?1,,?r)???, ??称为?在?1,,?r下的坐标.
???????r??r?在这个定义当中, 我们取定了向量空间V的一个基, 在这组基下每个向量都有一个坐标, 这里取定了V的一个基相当于就是取定了一个坐标系, 向量在这组给定基下的坐标相当于就
是向量在这个坐标系下的坐标. 所以向量空间的基相当于就是平面解系几何里的坐标系.
?22?1??14?????例8. 设A?(?1,?2,?3)??2?12?, B???1,?2???03?.
??122???42?????3证明?1,?2,?3是的一个基, 并求?1,?2在这个基中的坐标.
)?3, 所以只要证?1,?2,?3线性无关. 即要证R(?1,?2,?3)?3. 要求?1,?2在?1,?2,?3下的坐标, 即要求解矩阵方程(?1,?2,?3)X?(?1,?2).
24??100?33???2行变换(?1,?2,?3,?1,?2)????最简形矩阵?010?1?.
??3??2???001?1?3???24??33???21?. 所以?1,?2,?3是3的一个基. 所以R(?1,?2,?3)?3 且X????3???2????1?3???2??4??3??3?????2???1在?1,?2,?3下的坐标是???. ?2在?1,?2,?3下的坐标是?1?. □
3?2????1???????3???3例9. 取定的一组基?1,?2,?3, 再取一个新基?1,?2,?3. 设A?(?1,?2,?3),
证: 因为dim(
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3B?(?1,?2,?3). 求用?1,?2,?3表示?1,?2,?3的表示式(基变换公式), 并求向量在两个基
中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).
解: A,B都是可逆矩阵.(因为?1,,?n和?1,则基变换公式就是(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)P,
其中矩阵P?A?1B称为从旧基到新基的过渡矩阵. P是可逆矩阵, (因为A,B都是可逆矩阵.)
,?n这两个向量组都线性无关)
(?1,?2,?3)?B?EB?(AA?1)B?A(A?1B)?(?1,?2,?3)(A?1B). 记P?A?1B,
?x1??y1??1,?2,?3???1,?2,?3??3??x2?, ????????y2?. 设??, ???????x??y??3??3?这里要研究同一个向量在不同基下的坐标之间的关系相当于就是我们在平面解系几何里面
要研究平面上的同一个点在不同坐标系下的坐标.
?x1??x1??y1??y1??x1??y1?????????????则??(?1,?2,?3)?x2??A?x2?,??(?1,?2,?3)?y2??B?y2?. 所以A?x2??B?y2?,
?x??x??y??y??x??y??3??3??3??3??3??3??y1??x1??x1??????1??1?所以?y2??BA?x2??P?x2?, 这是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式. □?y??x??x??3??3??3?例10. (2005.1.(10分))(3学分) 求一个向量?, 使它在下列基下有相同的坐标:
?1??0??0??0??2??0??5??6?????????????????01001336????????????????与?1?. ?1?,??,??,??,??,??,???0?2?0?3?1?4?0???1?2?1?3?2?4?1?????????????????0001101???????????????3??x1??x1?????xx22解: 设??(?1,?2,?3,?4)???(?1,?2,?3,?4)??.
?x3??x3?????x?4??x4??x1??1?????x1?2????0. 解得??k, 其中k是任何实数. □ B?(?1,?2,?3,?4). 则(B?E)?x3??1?????x?4???1? 2节课完
例1.(Ex16)设向量组?1,?2,,?m线性相关, 且?1?0, 证明存在某个向量?k(2?k?m), 使?k可由?1,?2,证: 因为?1,?2,,?k?1线性表示.
,?m线性相关, 所以存在不全为零的数?1,?2,,?m.
令k?max{i|?i?0}. 由k的最大性知?k?1??k?2???m?0. k?2(否则k?1, ??11?0且?1?0, 所以?1?0, 矛盾.)
?k?1?1??????k?1. □ , 因为, 所以??????????0??0k11122kkk?k?k例2.(Ex17) 设向量组B:?1,,?r能由向量组A:?1,,?s线性表示为
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,?r)?(?1,,?s)K, 其中K为s?r矩阵, 且A组线性无关. 证明B组线性无
关的充要条件是R(K)?r.
证: B组线性无关?(?1,,?r)X?0只有零解?(?1,,?s)KX?0只有零解 因为?1,,?s线性无关, 所以(?1,,?s)KX?0与KX?0同解.
(显然若KX0?0, 则(?1,,?s)KX0?0. 反之若(?1,,?s)KX0?0, 则由于 ?1,,?s线性无关可知KX0?0. 所以 (?1,,?s)KX?0与KX?0同解.)
所以(?1,,?s)KX?0只有零解?KX?0只有零解?R(K)?r. □
??1? ?2??3???n????? ??????213n例3. (Ex18) 设?. 证明?1,,?n与?1,,?n等价.
????n??1??2???n?1 1??01??101?. 证: 由条件知(?1,,?n)?(?1,,?n)K, 其中K??????110??只要证K可逆.
(?1,|K|c1?c2?n?11cnn?10n?11n?111?11ri?r1(2?i?r)031002?(n?1)(?1)n?1.
?1所以|K|?0, 所以K可逆. □例4.(Ex19) 已知3阶矩阵A与3维列向量X满足AX?3AX?AX, 且向量组X,AX,
A2X线性无关.
(1) 记Y?AX, Z?AY, P?(X,Y,Z), 求3阶矩阵B, 使AP?PB; (2) 求|A|.
证: (1) 因为X,AX,AX线性无关, 所以P可逆, 所以B?PAP.
2?1AP?(AX,AY,AZ)?(AX,A2X,A3X)?(AX,A2X,3AX?A2X).
?0??0?????AX?(X,AX,A2X)?1?,A2X?(X,AX,A2X)?0?,
?0??1??????0??000?????3AX?A2X?(X,AX,A2X)?3?. 所以AP?(X,AX,A2X)?103?.
??1??01?1??????000???所以B??103?.
?01?1????1?1(2) |A|?|PBP|?|P|?|B|?|P|?|B|?0. □
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?a1??b1??c1???????例5. (Ex29) 设???a2?, ???b2?, ???c2?.
?c??a??b??3??3??3??l1:a1x?b1y?c1?0,?证明三直线?l2:a2x?b2y?c2?0, (ai2?bi2?0, i?1,2,3)相交于一点的充要条件为: 向量
?l:ax?by?c?0,33?33组?,?线性无关, 且向量组?,?,?线性相关.
?a1x?b1y?c1?0,?x??证: l1,l2,l3相交于一点??a2x?b2y?c2?0,有唯一解?(?,?)?????有唯一解
?y??ax?by?c?0,33?3?R(?,?)?R(?,?,??)?2?R(?,?)?R(?,?,?)?2??,?线性无关, 且?,?,?线性
相关. □
在这一章当中, 你对一些基本概念要熟悉, 尤其重要的是你要能够掌握判定向量组的线性 相关性的方法, 要能够会用矩阵的初等行变换求向量组的最大无关组和向量组的秩, 要会 求齐次线性方程组的基础解系.
在这一章后面的习题当中, 习题3,习题10,习题12, 习题20,习题24, 习题27这几种类型 的题目要能够会做.
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