若K?0, 则K可逆, 所以R(?1,?2,?3)?R(?1,?2,?3)?3. 所以?1,?2,?3线性无关. 若K?0, 则R(?1,?2,?3)?R(K)?3. 所以?1,?2,?3线性相关.
下面我们再介绍关于线性相关和线性无关的几个重要结论.
定理5. (1) 若向量组?1,?,?m线性相关, 则向量组?1,?,?m,?,?m?s线性相关. 反之, 线性无关的向量组的任何非空部分组线性无关.
(2) 若m?n, 则m个n维向量线性相关. 特别的n?1个n维向量线性相关 (3) 设向量组?1,?,?m线性无关, 而向量组?1,?,?m,?线性相关. 则?可由
所以?1,?2,?3线性无关?K?0?(k?1)2(k?2)?0?k?1且k??2. □
?1,?,?m唯一地线性表示.
证(1) R(?1,?,?m,?,?m?s)?R(?1,?,?m)?R(?m?1,?,?m?s)???1,?,?m线性相关?R(?1,?,?m)?m?
?R(?m?1,?,?m?s)?s??R(?1,?,?m,?,?m?s)?m?s??1,?,?m,?,?m?s线性相关
,?m?n. 要证R(?1,?,?m)?m.
R((?1,?,?m)n?m)?n?m.
(3) 要证??(?1,?,?m)X有唯一解, 只要证R(?1,?,?m)?R(?1,?,?m,?)?m. 因为?1,?,?m线性无关且?1,?,?m,?线性相关. 所以R(?1,?,?m)?m?R(?1,?,?m,?)?m?1.
所以R(?1,?,?m,?)?R(?1,?,?m)?m. □例6. 设向量组?1,?2,?3线性相关, 向量组?2,?3,?4线性无关. 证明(1) ?1能由?2,?3线性表示.
(2) ?4不能由?1,?2,?3线性表示.
(2) 设?1,证: (1) ?2,?3,?4线性无关??2,?3线性无关??1,?2,?3线性相关???1可由?2,?3线性表示. ? (2) 否则?4可由?1,?2,?3线性表示????4可由?2,?3线性表示.
向量组?1,?2,?3可由?2,?3线性表示???2,?3,?4线性相关, 矛盾. □例7. (2006.1.(7分))(2学分) 设?1,?2,?3线性无关, ?1可由?1,?2,?3线性表示, ?2不可由?1,?2,?3线性表示. 证明?1,?2,?3,?1??2线性无关.
证: 否则?1,?2,?3,?1??2线性相关. 因为?1,?2,?3线性无关, 所以?1??2可由?1,?2,?3线性表示. 而?1可由?1,?2,?3线性表示,
所以?2可由?1,?2,?3线性表示. 矛盾. □例8. (2007.9.(5分)) (3学分) 一个m?n矩阵A称为有右逆, 如果存在一个n?m矩阵B, 使得AB?Em, 其中Em为m阶单位矩阵. 证明: 矩阵A有右逆的充要条件是矩阵A的行向
量组线性无关.
?A1???证: 设A???(按行分块),
?A??m?
6
TT线性无关?R(A)?R(AT)?R(A,Am线性无关?A1T,,Am1,A有右逆?AX?Em有解?R(A)?R(A,E). 所以现在只要证R(A,E)?m.
则A1,T,Am)?m.
而m?R(Em)?R(A,E)?m(因为(A,E)的秩比它的行数m小.) □ 例9.(Ex9.) 设?1??1??2,
?2??2??3, ?3??3??4, ?4??4??1. 证明向量组?1,
?2, ?3, ?4线性相关.
?1001???1100?. 证: (?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)P, 其中P???0110???0011??要证?1, ?2, ?3, ?4线性相关, 只要证R(?1,?2,?3,?4)?4.
通过计算知|P|?0, 所以R(P)?4. 所以R(?1,?2,?3,?4)?R(P)?4. □
§3 向量组的秩
以前我们介绍过矩阵的秩的概念, 矩阵的秩的作用非常重要. 例如在讨论方程组的解的情况, 讨论向量组的线性相关性, 我们都用到了矩阵的秩. 在这一节中我们引进向量组的秩的概念. 我们首先来看向量组的最大无关组的定义和向量组的秩的定义. 设有向量组A, 若(1) {?1,?,?r}线性无关?A
(2) 向量组A中任意r?1个向量都线性相关.
则称向量组?1,?,?r是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组), r称为向量组
A的秩, 记为RA. 规定只含零向量的向量组的秩为0.
关于最大无关组我们需要注意以下几点.
注意: 1. 一般来说, 最大无关组不唯一. 实际上, 设向量组A的秩为r, 则向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组.
例①. 向量组A: ??1??. 则??1??都是向量组A的最大无关组. ?0??, ??1??, ??0??, ??1??和??0??, ??1??0??1??1??0??1??1???????????????n例②. 设En?(e1,,en), 则e1,,en是中线性无关的向量, (因为R(e1,任意n?1个n维向量线性相关, 所以
nnn,en)?n). 而
的秩为n. 所以e1,?,en是
n的最大无关组.
所以的秩为n. 所以中任意n个线性无关的向量是它的最大无关组.
2. 向量组A和它的最大无关组等价.
证: 设?1,?,?r是向量组A的最大无关组. 因为{?1,?,?r}?A, 所以向量组?1,?,?r可 由向量组A线性表示. 反之, 对任意??A, 要证?可由?1,?,?r线性表示.
???可由?1,?,?r线性表示. □
?1,?,?r,?线性相关?2节课完
关于向量组的最大无关组, 我们有下面的这样一个等价定义. 定理(最大无关组的等价定义). 设向量组{?1,?,?r}?向量组A
但?1,?,?r线性无关??1,?,?r线性无关.
(2) 任意??A, ?可由?1,?,?r线性表示.
(1)
7
则?1,?,?r是向量组A的一个最大无关组. 证: 任取A中r?1个向量?1,?,?r?1.
要证?1,?,?r?1线性相关. 只要证R(?1,?,?r?1)?r?1.
而?1,?,?r?1可由?1,?,?r线性表示. 所以R(?1,?,?r?1)?R(?1,?,?r)?r?r?1. 所以?1,?,?r?1线性相关. 所以?1,?,?r是向量组A的一个最大无关组. □下面我们来看一看矩阵的秩和向量组的秩之间的关系.
定理6. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.
从这个定理我们可以知道向量组的秩是矩阵的秩的推广. 矩阵对应的向量组只含有有限个向量，所以矩阵的秩只适用于含有有限个向量的向量组，而这里定义的向量组的秩适用于含有无限多个向量的向量组.
证: 设Am?n?(?1,?,?n), R(A)?r. 设r阶子式Dr?0. 要证存在{?i1,?,?ir}最大无关组?{?1,?,?n}. 设Dr?0所在的r列分别为?i1,?,?ir.
因为?i1,?,?ir有一个非零的r阶子式, 所以R(?i1,?,?ir)?r. 因为(?i1,?,?ir)只有r列, 所以R(?i1,?,?ir)?r. 所以R(?i1,?,?ir)?r, 所以?i1,?,?ir线性无关. 任取A的r?1个列向量?j1,?,?jr,?jr?1, 要证?j1,?,?jr,?jr?1线性相关. 只要证R(?j1,?,?jr,?jr?1)?r?1.
因为R(A)?r, 所以(?j1,?,?jr,?jr?1)的所有r?1子式为0. 所以R(?j1,?,?jr,?jr?1)?r?1. 所以?j1,?,?jr,?jr?1线性相关.
所以A的列向量组的秩?A的秩. 同理A的行向量组的秩?A的秩. □利用向量组的秩, 我们可以把书上的定理1,2,3可以推广到无限多个向量的向量组的情形. β可由向量组A线性表示: 存在向量组A中的有限个向量?1,?,?m和实数k1,?,km, 使得??k1?1???km?m.
定理1’ 向量?可由向量组A线性表示?RA?R{A,?}. 定理2’ 向量组B可由向量组A线性表示?RA?R{A,B}. 定理3’ 若向量组B可由向量组A线性表示, 则RB?RA.
例. 向量组B能由向量组A线性表示, 且RB?RA. 证明A组与B组等价. 证: A组与B组等价?RA?RB?R{A,B}.
B组可由A组线性表示?RA?R{A,B}. 所以RA?RB?R{A,B}. □
下面我们讨论如何利用矩阵的行初等变换来求向量组的最大无关组. 定理： 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系. 即若Am?n?(?1,有限次行初等变换,?n)???????B?(?1,,?n)，则k1?1?kn?n?0当且仅当
kn?n?0. （因为AX?0和BX?0同解.）
所以?j1,?,?jr是?1,?,?n的最大无关组??j1,?,?jr是?1,?,?n的最大无关组.
且?i?k1?j1?k1?1??kr?jr??i?k1?j1??kr?jr.
根据这个定理知道如果要讨论矩阵A的列向量组之间的线性关系，只要把矩阵A进行行初等变换化简成最简行矩阵，然后对最简形矩阵的列向量组进行讨论就可以了.
?2?1?11??11?21例1. 设A??4?62?2??36?97?
2??4?. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组, 并把不属?4?9??8
于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
?11?214????01?110?解. A?(?1,?2,?3,?4,?5)?行初等变换??????B?(?1,?2,?3,?4,?5). ?0001?3???00000???R(B)?3.R(?1,?2,?4)?3,所以?1,?2,?4线性无关. 而向量组?1,?2,?3,?4,?5的秩?R(B)?3. 所以?1,?2,?3,?4,?5中任意3个线性无关的向量都是它的最大无关组, 所以?1,?2,?4是?1,?2,?3,?4,?5的最大无关组. 所以?1,?2,?4是?1,?2,?3,?4,?5的最大无
关组.
?10?104???01?103??B?行初等变换????C???(?1,?2,?3,?4,?5).
0001?3????00000???显然?3???1??2, ?5?4?1?3?2?3?4.
所以?3???1??2, ?5?4?1?3?2?3?4. □
求m维列向量组α1,…,αn的最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
有限次行初等变换?最简形矩阵B?(?1,令Am?n?(?1,?,?n). A??????,?n)(或阶梯形矩阵), 则
R(A)?矩阵B中非零行的个数.
设i1,?,ir分别是矩阵B的每一个非零行的第一个非零元(即首元素)所在的列. 则?i1,?,?ir是?1,?,?n的最大无关组. 所以?i1,?,?ir是?1,?,?n的最大无关组. 且?j?k1?i1???kr?ir??j?k1?i???kr?i.
1r??1??1???2??6??????????1??3??4??2?例2. (2004.6.(8分))(2学分) 已知?1???, ?2???, ?3??, ??4?6?. 根据k的155??????????2??8??9??k?????????不同值, 求向量组?1,?2,?3,?4的最大无关组.
6???11?2??0214??解. (?1,?2,?3,?4)?行初等变换. ?????000k?8????0000???k?8?0, 则?1,?2,?4是最大无关组. k?8?0, 则?1,?2是最大无关组. □例3. (2007.9.(10分))(3学分) 求向量组?1?(1,0,2,1), ?2?(1,2,0,1), ?3?(2,1,3,0), ?4?(2,5,?1,4), ?5?(1,?1,3,?1)的秩及其一个最大线性无关组, 并用该最大线性无关组
表示其余向量.
?1??0行初等变换TTTTT解. (?1,?2,?3,?4,?5)??????0??0?
01009
010??03?1?. 所以向量组的秩为3.
1?11??000??所以?1,?2,?3是最大无关组. 例4.(Ex14.) 设?1,?2,线性表示. 证明?1,?2,证: 题中ei?因为e1,e2,?0????????1?????0?????4??1?3?2??3, ?5???2??3. □
,en能由它们
,?n是一组n维向量. 已知n维单位坐标向量e1,e2,,?n线性无关.
,?n)?n.
(i). 只要证R(?1,?2,,en能由?1,?2,,?n线性表示,
所以n?R(E)?R(e1,e2,,en)?R(?1,?2,,?n)?n. 所以?1,?2,,?n线性无关. □例5.(Ex15) 设?1,?2,,?n是一组n维向量. 证明它们线性无关的充要条件是任一n维向
量都可由它们线性表示. 证: \?\因为维向量?,
n的秩为n, 所以?1,?2,,?n是
n的一个最大无关组, 所以任意取定n?可由?1,?2,,?n线性表示.
\?\由条件知e1,e2,,en可由?1,?2,,?n线性表示.
所以据上题知?1,?2,,?n线性无关. □
§4 线性方程组的解的结构
我们前面介绍了如何用矩阵的初等变换来解线性方程组, 在这一节中我们用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组的解.
我们首先讨论齐次线性方程组. 我们来看一看齐次线性方程组的解的两个简单性质. 性质. (1) 若?1,?2是AX?0的解, 则?1??2也是AX?0的解.
(2) 若?是AX?0的解, k为实数, 则k?也是AX?0的解.
A?1?0???A?1?A?2?A(?1??2)?0.
A?2?0?(2)A??0?A(k?)?kA??0. □
证: (1)
由上面这两个性质, 我们可以证明下面的齐次线性方程组的解的结构定理.
推论.设S是AX?0的解集, ?1,?,?t是S的最大无关组(称之为AX=0的基础解系), 则
?kt?t, 其中k1,,kt是任意实数.
证: 由上面的性质知k1?1???kt?t是AX?0的解, 其中k1,?,kt是任意实数.
反之若??S, 因为?1,?,?t是S的最大无关组, 所以根据最大无关组的等价定义, ?可由?1,?,?t线性表示. 所以存在实数l1,,lt,使 ??l1?1??lt?t. □
由上面的结论, 我们知道要求解一个齐次线性方程组, 我们只需要把它的基础解系求出来就可以了.
下面我们介绍如何求齐次线性方程组的基础解系.
? 求齐次线性方程组Am?nX?0的基础解系. 设R(A)?r.
AX?0通解为X?k1?1? 10