?1?0b11?b1,n?r??????????0?1b?b?r1r,n?r行初等变换?. A?????最简形矩阵B. 不妨设B??0??0?00??????????0?00?0????x1??b11xr?1??b1,n?rxn?与B对应方程组? . 令xr?1?c1,?,xn?cn?r.
?x??bx??bxr1r?1r,n?rn?r?x1???b11???b12???b1,n?r??????????????????????x???b???b???b?rr1r2r,n?r????????则?xr?1??c1?1??c2?0????cn?r?0? (ci?) 是AX?0的通解. ?x??0??1??0?r?2????????????????????????????x001???????n???b11???b12???b1,n?r?????????????????1??0???b???b???b?????x???r1??r2??r,n?r??r?1??0??????, ??, ?, ??令1?1?2?0??0?, 即分别令??????,?,??. n?r0?0??1??0??x???????n??0??1??????????????????????????001??????则?1, ?2, ?, ?n?r是AX?0的基础解系.
证: 因为AX?0的任何解都可由?1, ?2, ?, ?n?r线性表示. 所以根据最大无关组的等价定义, 只要证?1, ?2, ?, ?n?r线性无关. 若k1?1? k2?2???kn?r?n?r?0,
?*???????*???k1?1? k2?2???kn?r?n?r?0, 所以k1? k2???kn?r?0. 则??k1???????k??n?r?所以?1, ?2, ?, ?n?r线性无关. □
由上面的讨论, 我们可以得到下面的这样一个定理.
定理7. 设R(Am?n)?r, 则齐次线性方程组Am?nX?0的解集S的秩为n?r.
这是因为解集的秩是基础解系所含向量的个数, 根据上面的讨论我们知道齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数是n?r, 所以解集的秩是n?r,
注意: 基础解系不唯一. 因为根据最大无关组的定义, 知Am?nX?0的解集S的任何n?r个线性无关的向量组为基础解系. 所以通解的形式也不唯一.
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?x1?x2?x3?x4?0?例1. 求齐次线性方程组?2x1?5x2?3x3?2x4?0 的基础解系与通解.
?7x?7x?3x?x?0234?123?????10?77??x?2x?3x?54??17374行初等变换?A?????01??解. , ?
?77??x?5x?4x?0000??27374????23?x?c??1717c2令x3?c1, x4?c2. 求得?.
54?x2?c1?c277?3??2??3??2?2??3?c?c??????????x12?1?77777??????7??????4?5?5?4??x2??5c?4c?????????所以通解为???, c,c?. 令1, . ?c?c?7?2?7??7172?1?7?2?7?12x3????0??1???1??0?c1?x???????????4??0c01?1???????2??则?1,?2为基础解系.
?5??8??????x3??7??7??x1??5??8??9??13????????????????令?和. 求得和. 令, ??12?x??7??14??x??9??13??7??7?. ?4??????2??????????7??14?????则?1,?2为基础解系. □ 2节课完 例2.(2006.1(10分))(3学分) 设?1,?2,,?m为齐次线性方程组CX?0的基础解系.
??1?s?1?t?2???s??t??223, s,t为实常数. 问s,t满足什么关系时, ?1,?2,?????m?s?m?t?1础解系.
,?m也是CX?0的基
0?s0?0?ts0解: (?1,?2,,?m)?(?1,?2,,?m)K, 其中K??0t???00t?因为?1,?2,,?m为齐次线性方程组CX?0的基础解系, 所以CX解.
所以?1,?2,t??0?0?. ??s???0的解集的秩是m.
所以解集中的任何m个线性无关的向量都是方程组的基础解系. 显然每个?i都是方程组的
,?m是CX?0的基础解系??1,?2,12
,?m线性无关
?R(?1,?2,若|K|?0, 则K可逆, 所以
,?m)?m.
,?m)?m.
R(?1,?2,,?m)?R((?1,?2,,?m)K)?R(?1,?2,若|K|?0, 则R(?1,?2,,?m)?R(K)?m.
所以?1,?2,,?m是CX?0的基础解系?|K|?0. s按第一行展开t|K|ss0tsm?1t?(?1)m?1tst0stm?1?sm?(?1)m?1tm.
0所以?1,?2,0,?s是CX?0的基础解系?sm?(?1)m?1tm?0. □
例3. 设Am?nBn?l?0. 证明R(A)?R(B)?n.
证: 设B?(?1,,?l), 则A?i?0, 1?i?l. 设AX?0的解集为S.
所以{?1,,?l}?S. 所以?1,,?l可由S线性表示. 回忆若向量组A可以由向量组B线性表示, 则向量组A对应的矩阵的秩小于等于向量组B对应的矩阵的秩. 而这个定理可以
推广到含有无限个向量的向量组, 就是把定理中的矩阵的秩换成向量组的秩. 所以
. □ R(B)?R?R(A){?1,?,l}?RS?n★例4.(Ex25) 设A为n阶矩阵(n?2), A为A的伴随矩阵, 证明
*
?n, 若R(A)?n,?R(A*)??1, 若R(A)?n?1,
?0, 若R(A)?n?2.?证: 回忆若An?(?1,,?n), 则?1,,?n线性无关?(?1,,?n)X?0只有零解
?R(A)?n?|A|?0?A可逆. AA*?|A|E
若R(A)?n, 则A可逆, 且|A|?0, 所以A*?|A|A?1. 所以A*可逆, 所以R(A*)?n.
若R(A)?n?1, 则AA*?0, 所以R(A)?R(A*)?n. 所以R(A*)?1. 因为R(A)?n?1, 所以A有一个非零的n?1阶子式, 所以A*?0, 所以R(A*)?1. 所以R(A*)?1.
若R(A)?n?2, 则A的所有n?1阶子式为零, 所以A*?0. 所以R(A*)?0. □
★例5. (1)A?0?(2)AA?0?(3)AA?0. 证: (1)?(2)显然.
2(2)?(1)0?AAT的(i,i)元??aikaik??aik.
kkTT所以aik?0对所有的i,k. 所以A?0.
AT(AT)T?ATA?0?AT?0?A?0. □
TT★例6. 证明R(A)?R(AA)?R(AA).
证: 设A为m行n列的矩阵, 则A为n行m列的矩阵.
AX?0解集的秩为n?R(A), ATAX?0解集的秩为n?R(ATA).
TT要证R(A)?R(AA), 只要证n?R(A)?n?R(AA).
T所以只要证AX?0与AAX?0解集一样.
若X0是AX?0的解, 则ATAX0?0, 所以ATAX0?0.
反之, 若ATAX0?0, 要证AX0?0.
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TTATAX0?0?(AX0)TAX0?X0AAX0?0?AX0?0(据上面的例子). □例7.(2005.1(7分)) (3学分) 设A为m?n实矩阵, n?m, 线性方程组AX??有唯一解.
T证明AA是可逆矩阵, 并求AX??的解.
证: 因为AX??有唯一解, 所以R(A)?R(A,?)?n.
T由上例知R(ATA)?R(A)?n, 所以AA是可逆矩阵,.
AX???ATAX?AT?.
T因为AA是可逆矩阵, 所以X?(ATA)?1ATAX?(ATA)?1AT?. □下面讨论非齐次线性方程组AX??(??0). 我们来看一看非齐次线性方程组的解的两个
简单性质.
性质. (1) 设?1和?2都是AX??的解. 则?1??2是AX?0(称为AX??的导出方程组)的解.
(2) 设?是AX??的解, ?是AX?0的解. 则???是AX??的解. 证: (1)
A?1?0???A(?1??2)?A?1?A?2?0.
A?2?0? A????(2)??A(???)?A??A???. □
A??0?由上面这两个性质, 我们可以证明下面的非齐次线性方程组的解的结构定理. 定理. 设?*为AX??(??0)的解,
?1, ?2, ?, ?n?r是AX?0的基础解系. 则AX??的通解为X??*?k1?1+k2?2+ +kn?r?n?r, 其中k1,k2, ,kn?r为任意实数.
证: 由上面的性质知, 对任何实数k1,k2, ,kn?r, ?*?k1?1+k2?2+ +kn?r?n?r是AX??的解. 反之设?为AX??的解, 则???*为AX?0的解. 所以存在实数l1,l2, ,ln?r, 使得???*?l1?1?l2?2+ ?ln?r?n?r,
所以???*?(???*)??*?l1?1?l2?2+ ?ln?r?n?r. □
根据这个定理, 我们知道要求解一个非齐次线性方程组, 只要求出它的某个解和它对应的齐次线性方程组的基础解系就可以了.
例7.(Ex27) 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, ?1,?2,?3是它的三个解向量, 且
?2??1?????32 ?1???, ?2??3???.
?4??3?????5???4?求该方程组的通解.
解: 设AX?? (??0). 则AX?0的解集的秩?n?R(A)?4?3?1. 2?1?(?2??3)是 ?2??3?????34AX?0的基础解系. 所以AX??的通解是X??1?k(2?1?(?2??3))????k??, 其中
?4??5?????5???6?k是任何实数. □
例8.(Ex30)设A?(?1,?2,?3,?4), ?2,?3,?4线性无关, ?1?2?2??3, ???1??2??3??4. 求AX??的通解.
解: 因为?2,?3,?4线性无关, 所以R(?2,?3,?4)?3. 因为?1?2?2??3, 所以?1,?2,?3,?4
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线性相关, 所以3?R(?2,?3,?4)?R(A)?4. 所以R(A)?3. 所以AX?0的解集的秩
?n?R(A)?4?3?1. AX?0?x1?1?x2?2?x3?3?x4?4?0.
?1??1??1????????21?2所以??是AX?0的基础解系. 所以AX??的通解是X????k??, 其中k是任何实
?1??1??1????????0??1??0?数. □
2节课完
例9.(Ex31) 设?*是非齐次线性方程组Am?nX??的一个解, ?1,,?n?r是AX?0的基础解系.
证明: (1) ?*,?1,,?n?r线性无关;
(2) ?*,?*??1,,?*??n?r线性无关.
,?n?r线性无关, 因为?1,,?n?r线性相关, 所以?*可由?1,,?n?r
证: (1)反证法. 设?*,?1,线性表示, 从而A?*?0. 但A?*??. 所以??0. 矛盾.
?111??010(2) (?*,?*??1,,?*??n?r)?(?*,?1,,?n?r)K, 其中K??001???000?因为K?1, 所以K可逆. 所以R(?*,?*??1,,?*??n?r)?R(?*,?1,所以?*,?*??1,1??0?0?. ??1??,?n?r)?n?r?1,
,?*??n?r线性无关. □
例10. (Ex32) 设?1,,?s是非齐次线性方程组AX??的s个解, k1,,ks为实数, 满足 k1?k2?ks?1. 证明k1?1??ks?s也是它的解.
证: A(k1?1??ks?s)?(k1?k2?ks)???. □例11.(Ex33) 设r?R(A). 设?1,,?n?r?1是非齐次线性方程组Am?nX??的n?r?1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为k1?1??kn?r?1?n?r?1, 其中k1??kn?r?1?1.
证:?2??1,,?n?r?1??1是AX?0的n?r个解. 因为?1,,?n?r?1线性无关, 所以?2??1,, ?n?r?1??1线性无关,所以?2??1,,?n?r?1??1是AX?0的基础解系.所以 AX??的通解为 X??1?l1(?2??1)??ln?r(?n?r?1??1)?(1?l1??ln?r)?1?l1?2??ln?r?n?r?1. □★由例9, 例10和例11知若非齐次线性方程组Am?nX??有解, 则它的解集的秩是n?R(A)?1.
例、（15分）(2学分)已知非齐次方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 有3个线性无关的解。 ?ax?x?3x?bx?1234?1（1）、证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2。
（2）、求a、b的值及方程组的通解。
解：(1)、设AX=b有三个线性无关的解，?1,?2,?3，则?1??2，?1??3必是AX=0的两个线性无关的解。
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