解：要保持模型和原物之间的流动相似，其雷诺数必然相等，即：dV??Re?Re?'d'V'?'，
V'd?'?' 所以
Vd?d'?'qd'2V'd'2d?''4qv 因为??2?2'，所以qv?2d?qv?ddVdd?V4'v?d'2V'(1)当模型中的流体为20℃的水，查表得??1.006?10m?s
?62-1d'?'501.006?10?6?43-1q?qv???0.12?7.545?10m?s ?5d?2004.0?10'v(2)当模型中的流体为20℃的空气，查表得??15.06?10m?s
?62-1d'?'5015.06?10?6?23-1q?qv???0.12?1.130?10m?s ?5d?2004.0?10'v 4-7 解：
(1)速度比例尺kv?45?1.5，汽车在运动过程中主要受粘性力作用，因此要保证
108?10003600流动相似，必须保证雷诺数相等，即：
huh'1huh1.5?Re?Re?，所以h?'???1m,长度比例尺kl??。 ??ukv1.5hkv''h'u'U'?A'AU''kvF'h2?1h(2)所以原型在最大行驶速度时的风???k?k?k?k?k??1，lvlvl'UFAUhkv?Ah'阻F?F?1500N 4－8 解：
(1)在流动过程中，粘性力起主要作用，所以要保持流动相似，必须保证两者的雷诺数相等，
'即
dud?'1?'11.007?10?6?20?15.49m?s?1 ?Re?Re?'，所以u?u'?u?511.3?10d?kl???10'd'u''(2)由欧拉数相等可知：
?p?p''?Eu?Eu??v2?v'，'2所以
?p?v2?p'?v2L'1.86?20211000?''2'?''2'?p????3.107Pa 2L?vL?vL998?15.49100.1 4-12
解：因为流量qv与管径d、动力粘度?、压力梯度
?p有关，所以可用瑞利法表示流量为Lqv?kda1?a2(?pa3)， L用基本量纲表示方程中各物理量的量纲，则有：
LT3?1ML?1T?2a3?L(MLT)()
La1?1?1a2根据量纲一致性原则，可得： 对L： 3?a1?a2?2a3 对T： ?1??a2?2a3 对M： 0?a2?a3
联立求解可得： a1?4，a2??1,a3?1
?pd4?p所以qv?kd?，其中k为系数。 ?kL?L4?14-14：
解：小球直径d、速度
v、流体密度?三种量的量纲组成的行列式值为
?11?3???0?10????1?0，所以选取小球直径d、速度v、流体密度?三种量为基本量，根?001???据题意可得阻力的物理方程为F(FD,d,v,?,?)?0，所以根据?定理，用基本量表示的零量纲量为：
?1?FD???，。用基本量纲表示方程中的各物理量： 2a1b1c1a2b2c2dv?dv?M?LT?2?La1(LT?1)b1(ML?3)c1 ML?1T?1?La2(LT?1)b2(ML?3)c2
根据量纲一致性原则可得：
?1?c1?1?c2??1?a?b?3c，???1?a2?b2?3c2， 111??1??b??2??b21???a1?2?a2?1??求解方程组得：?b1?2, ?b2?1，
?c?1?c?1?1?2所以零量纲量为?1?FD?1???，，所以小球在不可压缩粘性流体中运动的阻2d2v2?dv?Re力FD??1d2v2??f(Re)d2v2?， 或者可写为FD?f(Re)dv 4-15 解：
堰顶水头H（L）、液体的密度?（ML）、重力加速度g（LT?3?222??f(Re)?d2?v242。
）三种量的量纲的行列
?1?31???0???2?0，所以选取堰顶水头H、液体的密度?、重力加速度g为式值是?01?00?2???基本量。根据题意可得流量的物理方程为F(qv,H,?,g,?,?,?)?0，所以根据?定理，用
基本量表示的零量纲量为
?qv1?Ha1gb1?c1，?2??Ha2gb2?c2，?3??Ha3gb3?c3，?4??， 根据物理方程量纲一致性原则，对四个无量纲量有：
LT3?1?La1(LT?2)b1(ML?3)c1
ML?1T?1?La2(LT?2)b2(ML?3)c2 MT?2?La3(LT?2)b3(ML?3)c3
所以有方程组
??3?a1?b1?3c1??1?a2?b2?3c2?0?a3?b3?3??1??2b,?,?c3?1??1??2b2??2??2b?0?c1??1?c2?3 ?1?c3求解得：
??a5?31??2?a2?2??b1??1??a3?2?1?2,?b2?,?b3?1，
?c0?2?c?c?11?2?1?3????所以零量纲量为?qv1?51，??12??31??1?H2g2H2g2?H(Hg)2?HV??Re?3???H2g??H(Hg)???HV2??1We，?4??， 所以流量的表达式为
515151qv??1H2g2?f(?2,?3,?4)H2g2?f(Re,We,?)H2g2?f(Re,We,?)H2gH 解法二：
按照瑞利法写出流量的表达式：qav?kH1?a2ga3?a4?a5?a6，
用基本量纲表示方程中的物理量：
LT3?1?kLa1(LT?2)a3(ML?3)a4(ML?1T?1)a5(MT?2)a6
，对于L： 3?a1?a3?3a4?a5 对于T： ?1??2a3?a5?2a6 对于M: a4?a5?a6?0 求解方程可得：a1?1(5?3a5?4a6)211(5?3a5?4a6)，a3?(1?a5?2a6)，a4??a5?a6 221(1?a5?2a6)2qv?kH5212?ga2??a?a?a?a
5656?Hg?kH?Hg?k52121(?3a5?4a6)2?ga21(?a5?2a6)26??a?a?a?a
5656556?aH2?ag1(3a5?4a6)21(a5?2a6)2?a a?a??a ?a55?Hg?kH 4-17
5212?a2?a?ga661(3a5?4a6)21(a5?2a6)2解：叶轮直径d的基本量纲为L，转速n的基本量纲为T，密度?的基本量纲为ML，
?1?3?10?3???因为三个量的量纲的行列式值???0?10???1?0，所以，选取叶轮直径d、转速n、
?001???密度?为基本量。根据题意可得功率P的物理方程为F(P,d,b,n,H,?,?,g)?0， 所以根据?定理，用三个基本量表示的零量纲量为
?1?PbH?g????????，，，， 2345a3b3c3a5b5c5a1b1c1a2b2c2a4b4c4dn?dn?dn?dn?dn?根据物理方程量纲一致性原则，对五个无量纲量：
MLT?2?LT?1?La1T?b1Mc1L?3c1 L?La2T?b2Mc2L?3c2 L?La3T?b3Mc3L?3c3
MLT?2?L?L?2?L?1T?La4T?b4Mc4L?3c4