第五章 静 电 场
5 －9 若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为
E?1Q
πε04r2?L2(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为
E?1Q 222πε0r4r?L若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为
dE?整个带电体在点P的电场强度
1dqer
4πε0r?2E??dE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，
E??dEi
L(2)若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是
E??dEyj??sinαdEj
L证 (1)延长线上一点P的电场强度E?则
dq利用几何关系 r′＝r－x统一积分变量，?L2πε0r?2，
EP??1QdxQ?11?1Q电场强度的方向???22??-L/24πεL?r?x?24πεLr?L/2r?L/2πε4r?L?00?0L/2沿x轴.
(2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E的方向沿y轴，大小为
E??2sinαdqdE
L4πεr?202利用几何关系 sin α＝r/r′，r??r?x统一积分变量，则
E??1rQdx22-L/24πε0Lx?rL/2??2/3?Q1
2πε0r4r2?L2当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
E?liml??1Q/L2πε0r1?4r2/L2 ?λ2πε0r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r2/L2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －14 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即Φs?E?dS
S?方法2：作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
?E?dS?S1?q?0 ε0这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而
Φ??E?dS???E?dS
SS?解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
Φ??E?dS???E?dS
SS?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，
Φ??E?πR2?cosπ?πR2E
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
E?E?cose?sincosθeθ?sinθsiner?
dS?R2sinθdθder
Φ??E?dS??ER2sin2θsindθdSS??ERsinθdθ?sind00π22π
?πR2E5 －17 设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
?0?r?R?ρ?kr
?r?R?ρ?0 k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.
分析 通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称
分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度
大小为常量，且方向垂直于球面，因而有E?dS?E?4πr
S?2根据高斯定理E?dS??1ρdV，可解得电场强度的分布. ε0?(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq?ρ?4πr?2dr?，每个带电球壳在壳内激发的电场dE?0，而在球壳外激发的电场
dE?dqe 2r4πε0r由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
?0?r?R?E?r???dE 0r?r?R?E?r???dE 0R
解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
?E?dS?1ρdV得球体内(0≤r≤R) ?ε01rπk4E?r?4πr??kr4πr2dr?r
ε00ε02kr2E?r??er
4ε0球体外(r＞R)
E?r?4πr2?1Rπk42kr4πrdr?r ?0ε0ε0kR2E?r??er
4ε0解2 将带电球分割成球壳，球壳带电
dq?ρdV?kr?4πr?2dr?
由上述分析，球体内(0≤r≤R)
1kr??4πr?2dr?kr2E?r???er?er 204πεr4ε00r球体外(r＞R)
E?r???R01kr??4πr?2dr?kR2er?er
4πε0r24ε0r25 －20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.
分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而
?EdS?E?4πr2.在确定高斯面内的电荷
?q后，利用高斯定理?EdS??q/ε0即可求
出电场强度的分布.
解 取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析
E?4πr2??q/ε0
r＜R1，该高斯面内无电荷，?q?0，故E1?0 Q1r3?R13R1＜r＜R2，高斯面内电荷?q? 33R2?R1Q1r3?R13故 E2? 34πε0R2?R13r2R2＜r＜R3，高斯面内电荷为Q1，故
??????E3?r＞R3，高斯面内电荷为Q1＋Q2，故
Q1
4πε0r2E4?Q1?Q2 24πε0r电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r＝R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量
ΔE?E4?E3?Q2σ ?4πε0R32ε0