（D）线圈中感应电流方向无法确定
分析与解 由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱．因而当矩形线圈朝下运动时，在线圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定．因而正确答案为（B）． 8 －5 下列概念正确的是（ ） （A）感应电场是保守场
（B）感应电场的电场线是一组闭合曲线
（C）Φm?LI，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D） Φm?LI，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大
分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B）．
8 －7 有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以
dI的变化率增长．若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示．求dt线圈中的感应电动势．
分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律ξ??dΦ来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁dt通量就需用Φ?B?dS来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1与
S?B2之和）．
为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B仅与x有关，即B?B(x)，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx、长为d的面元ｄS，如图中阴影部分所示，则dS?ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS?dxdy，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式EM??M解1 穿过面元ｄS 的磁通量为
dl求解． dtdΦ?B?dS?B1?dS?B2?dS?因此穿过线圈的磁通量为
μ0IμIddx?0ddx
2π?x?d?2πxΦ??dΦ??再由法拉第电磁感应定律，有
2dd2dμIdμ0IdμId30dx??dx?0ln
d2π?x?d?2πx2π4E??dΦ?μ0d3?dI??ln? dt?2π4?dt解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为
Φ?线圈与两长直导线间的互感为
μ0dI3ln 2π4M?当电流以
Φμ0d3?ln I2π4dl变化时，线圈中的互感电动势为 dtE??MdI?μ0d3?dI??ln? dt?2π4?dt试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量Φ?B?dS?f?1,ξ?，它表现为变量I和ξ的二元函数，将Φ代
?S入E??dΦdξ?v，再令ξ＝d即可求即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中dtdt得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生
电动势．
8 －12 如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B与转轴平行．求OP棒在图示位置处的电动势．
分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E??dΦ计算（此时必须构造一个包dt含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO），也可用E???v?B??dl来计
l算．由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得
EOP??lOP?v?B??dl
??vBsin90ocosαdl ???lsinθω?Bcos90o?θdl
l???ωBsin2θ?ldl?0L12ωB?Lsinθ? 2由矢量v?B的方向可知端点P的电势较高．
解2 设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势
E??显然，EQO＝0，所以
dΦ?0?EOP?EPQ?EQO dtEOP??EPQ?EQO?12ωB?PQ? 2由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP等效．后者是垂直切割的情况．
8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v?2.0m?s?1平行于一长直导线移动，此导线通有电流I＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？
分析 本题可用两种方法求解．（1）用公式E?标系，所取导体元dl?dx，该处的磁感强度B???v?B??dl求解，建立图（a）所示的坐
lμ0I．（2）用法拉第电磁感应定律求解，2πx需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ?B?dS求得穿过该
S?回路的磁通量，再代入公式E??dΦ，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势． dt解1 根据分析，杆中的感应电动势为
EAB???v?B??dl?dxl???0.1mAB1.1mμ0μIvvdx??0ln11??3.84?10?5V式中负号表示2πx2π电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高．
解2 设顺时针方向为回路ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为ｄx、长为y的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为
dΦ?B?dS?穿过回路的磁通量为
μ0Iydx 2πxΦ??dΦ??Sμ0IμIyydx??0ln11
0.1m2πx2π1.1m回路的电动势为
E??dΦμIdyμIy??0ln11??0??3.84?10?5V dt2πxdt2π由于静止的形导轨上电动势为零，所以
EAB?E??3.84?10?5V
式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高．
8 －14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．
分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：1．当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg段上的电动势为零［此两段导体上处处满足?v?B??dl?0］，因而线框中的总电动势为
E???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl?Eef?Ehg其等效电路
efghefhg如图（ｂ）所示．
dΦ求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设dtdξ?v．时刻t时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c）所示，显然ξ是时间t的函数，且有在dt2．用公式E??求得线框在任意位置处的电动势E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得线框在题目所给位置处的电动势．
解1 根据分析，线框中的电动势为
E?Eef?Ehg
???v?B??dl???v?B??dl
efhg?l2μ0Ivl2μ0Ivdl?dl ??002πd2π?d?l1??μ0IvI1I2
2π?d?l1?由Eef＞Ehg可知，线框中的电动势方向为efgh．
解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为
Φ??相应电动势为
l10μ0Il2μ0Il2ξ?l1dx?ln
2π?x?ξ?2π?x?ξ?ξE?ξ???dΦμ0Ivl2l1 ?dt2πξ?ξ?l1?令ξ＝d，得线框在图示位置处的电动势为
E?μ0Ivl2l1
2πd?d?l1?由E＞0可知，线框中电动势方向为顺时针方向．