这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.
5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2＞R1)，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度：(1)r＜R1，(2) R1＜r＜R2，(3)r＞R2.
分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且EdS?E?2πrL，求出不同半径高斯面内的电荷
??q.即可解得各区域电场的分布.
?q?0
E1?0
解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理
E?2πrL??q/ε0
r＜R1，
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R1＜r＜R2，
?q?λL
E2?λ 2πε0rr＞R2，
?q?0
E3?0
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变
ΔE?这与5－20题分析讨论的结果一致.
λλLσ?? 2πε0r2πε0rLε05 －22 如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1＝Q3＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.
分析 由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W′应等于电场力作功W 的负值，即W′＝－W.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为
?W??Q2Edl
0其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度. (2)根据电场力作功与电势能差的关系，有
W?Q2?V0?V???Q2V0
其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q1所受的合力为零
Q1Q2Q3?Q?0 1224πε0d4πε0?2d?1414解得 Q2??Q3??Q
由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
E?E1y?E3y?2πε0d?y?Qy223/2?
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为
W????Q2E?dl???0??0Qy?1??Q???4??2πε0d2?y2??Q2dy? 3/28πε0d解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q2??Q，并由电势 的叠加得Q1、Q3在点O的电势
14V0?Q1Q3Q ??4πε0d4πε0d2πε0d将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功
Q2 W???Q2V0?8πε0d比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
E?λer 2πε0r为电荷线密度.(1)求在r＝r1和r＝r2两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r→∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明. 解 (1)由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有
U12??E?dr?r1r2λrln2 2πε0r1(2)不能.严格地讲，电场强度E?λer只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分2πε0r布在无限空间，r→∞处的电势应与直线上的电势相等.
5 －27 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2.求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)两球面间的电势差为多少？
分析 通常可采用两种方法(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由Vp???pE?dl可求得电势分布.(2)利用电势叠加原理求电势.
一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为
V?Q 4πε0r在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
V?Q 4πε0R其中R是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.
解1 (1)由高斯定理可求得电场分布
?r?R1?E1?0 E2?E3?由电势V?Q1?R1?r?R2? e 2r4πε0rQ1?Q2?r?R2?er 24πε0r??rE?dl可求得各区域的电势分布.
当r≤R1时，有
V1??E1?dl??E2?dl??E3?dlrR1R2R1R2??11?Q1?Q2??RR??4πεR2?02?1Q1Q2??4πε0R14πε0R2?0?Q14πε0当R1≤r≤R2时，有
R2?
V2??E2?dl??E3?dlrR2?11?Q1?Q2?r?R??4πεR
2?02?Q1Q2??4πε0r4πε0R2Q?14πε0当r≥R2时，有
V3??E3?dl?r?Q1?Q2
4πε0r(2)两个球面间的电势差
U12??E2?dl?R1R2Q1?11??? ???4πε0?R1R2?解2 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r≤R1，则
V1?Q1Q2 ?4πε0R14πε0R2若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2，则
V2?Q1Q2 ?4πε0r4πε0R2若该点位于两个球面之外，即r≥R2，则
V3?(2)两个球面间的电势差
Q1?Q2
4πε0rU12??V1?V2?r?R2?Q1Q1 ?4πε0R14πε0R2第六章 静电场中的导体与电介质
6 －1 将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（ ）
（A）升高 （B）降低 （C）不会发生变化 （D）无法确定
分析与解 不带电的导体B相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。
6 －3 如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有（ ） （A）E?0,V?q 4πε0d（B）E?qq ,V?24πε0d4πε0d（C）E?0,V?0 （D）E?qq ,V?4πε0d24πε0R