考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用．
分析： （I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MN⊥AC，通过已知条件可分别以MB、MC、MN为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设D（0，y，z），利用∠BCD=90°即
?
=0，可得D（0，
，1），进而CD⊥平面ABC；
的夹角
（II）通过题意，直线BC与平面ABD所成角的正弦值即为平面ABD的法向量与的余弦值的绝对值，计算即可． 解答： 解：（I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MN⊥AC， ∵平面ACD⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC， 又∵AB=BC，∴MB⊥AC，
分别以MB、MC、MN为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， 则有B（，0，0），C（0，则有
=（
，
，0），?
，0），设D（0，y，z）， =（0，y﹣
，
，z），
∵∠BCD=90°，∴=0，解得y=，1），
又∵CD=1，∴D（0，∴
=（0，0，1），故CD⊥平面ABC；
，0），设平面ABD的法向量为=（x，y，z），
=（，
，0），
（II）A（0，﹣由
=（0，
，0），
得，取=（，1，），
又∵=（，，0），
|=
=
．
∴sinθ=|
点评： 本题考查线面垂直的判定定理，向量的数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．如图所示，椭圆C：
=1（a＞b＞0）与直线AB：y=x+1相切于点A．
（1）求a，b满足的关系式，并用a，b表示点A的坐标；
（2）设F是椭圆的右焦点，若△AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）直线方程与椭圆方程联立化为（a+4b）x+4ax+4a﹣4ab=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，即可解出切点A；
2
2
2
2
2
22
（2）设AF的斜率为k，由∠BAF=45°，利用“到角公式”可得=tan45°，解得k．再利
用斜率计算公式可得
=﹣，由BF⊥AF，可得kBF=﹣．得到直线BF的方程，
两条直线方程联立可得B．利用|AF|=|BF|可得方程，联立解得：a，c，再利用b=a﹣c即可得出．
2222
解答： 解：（1）联立，化为（a+4b）x+4ax+4a﹣4ab=0，（*）
2222222
∵直线与椭圆相切，
∴△=16a﹣4（a+4b）（4a﹣4ab）=0，
22
化为a+4b=4． ∴2xA=
=
=﹣a，
22
4
2
2
2
22
解得xA=﹣∴A（﹣
，∴yA=，b）．
2
=b．
（2）设AF的斜率为k，
由∠BAF=45°，∴=tan45°=1，解得k=．
∴=﹣，化为=．（*）
∵BF⊥AF， ∴kBF=﹣=3．
∴直线BF的方程为：y=3（x﹣c）， 联立
，
解得B∵|AF|=|BF|， ∴
．
=，
化为
2
，
与（*）联立解得：a=，c=1， ∴b=．
2
∴椭圆C的标准方程为：．
点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0、等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．已知函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a．
（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围； （2）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析： （1）求导f′（x）=2x+（a﹣4），从而可得f′（0）?f′（1）=（a﹣4）（2+a﹣4）＜0，从而解得；
（2）易知f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=
]上是减函数，在[2]，使得|f（x0）|≥t为
对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（|，|f（2）|，|f（
）|≥t有一个成立即可，即{|f（0）
）|}max={|f
2
2
∈（0，2），故函数f（x）在[0，
，2]上是增函数；从而化对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，
）|}max≥t即可，再由f（1）=0知∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（
（0）|，|f（2）|}max，从而解得．
2
解答： 解：（1）∵f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a， ∴f′（x）=2x+（a﹣4），
又∵f（x）在区间[0，1]上不单调， ∴f′（0）?f′（1） =（a﹣4）（2+a﹣4）＜0， 即2＜a＜4，
即a的取值范围为（2，4）； （2）f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=又∵a∈（0，4），∴
22
，
∈（0，2），
]上是减函数，
∴函数f（x）=x+（a﹣4）x+3﹣a在[0，在[
，2]上是增函数，
故对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t可化为 对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（
）|≥t有一个成立即可，
即{|f（0）|，|f（2）|，|f（又∵f（1）=0，
∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（
）|}max≥t即可，
）|}max={|f（0）|，|f（2）|}max， ）|}max=
，
故{|f（0）|，|f（2）|，|f（
故的最小值为1，
故1≥t即可，
故t的取值范围为（﹣∞，1]．
点评： 本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质与应用，同时考查了恒成立问题与存在性问题，属于难题．
20．已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N）．
+
（Ⅰ）设bn=an+1+an（n∈N），求证{bn}是等比数列； （Ⅱ）（i）求数列{an}的通项公式； （ii）求证：对于任意n∈N都有
+
+
成立．
考点： 数列的求和；等比关系的确定；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列． （Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式． （ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．
解答： 证明：（Ⅰ）已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N）． 则：an+1+an=3（an+an﹣1） 即：
，
+
所以：，
数列{bn}是等比数列． （Ⅱ）（i）由于数列{bn}是等比数列． 则：
，
整理得：