教 案
课时 2 授课人:唐默
第五章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、内容要点
⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 .
⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关，称为自由向量﹚. ⑵向量的坐标表示：a?(ax,ay,az)，其中ax、ay、az为向量a在三
个坐标轴上的投影.以M0(x0,y0,z0)为起点、M0(x,y,z)为终点的向量
M0M?(x?x0,y?y0,z?z0).
⑶向量的分解表示a?axi?ayj?azk，其 中i?(1,0,0)，j?(0,1,0)，
k?(0,0,1)
⒉向量的模与方向余弦
22?az设a?(ax,ay,az)则向量的模a?ax2?ay方向余弦为
ayaxa?分别为a与x轴、y轴、cos??,cos??,cos??z.其中?、?、
aaaz 轴正向的夹角﹙称为a的方向角﹚，
cos2??cos2??cos2??1
⒊向量的加法与数乘运算
向量的加法有平行四边形法则和三角形法则.
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运算的代数表示：设a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz), 则 (1)a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz); (2)?a?(?ax,?ay,?az). 线性运算律为
a?b?b?a,
(a?b)?c?a?(b?c), ?(a?b)??a??b,
?(?a)?(??)a
基本定理：设a?0，则
ab????R，使得 b??a ； 或 设a?(ax,ay,az)?0 b?(bx,by,bz)，则a\\\\b?bxbybz??. axayaz 利用数乘 ,任何向量a可表示为a?aea，其中ea表示与a同方向的单位向量.
空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为i,j,k ，则 a?(ax,ay,az)的分解表达式为:a?axi?ayj?azk .
二、数学要求和学习注意点
⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；
⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；
⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。
在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.
三、释疑解难
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⒈设a、b为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？
⑴ a?b?a?b ； ⑵ a?b?a?b ； ⑶ a?b?a?b .
答 由向量加、减法的平行四边形法则知，当(a,b)?时，⑴式成立，﹙图5–1﹙a﹚﹚，当(a,b)?5–1﹙b﹚﹚.
由三角形法则知，一般有a?b?a?b ，当且仅当(a,b)??时，⑶式成立﹙图5–1﹙c﹚﹚.
b a a?b ba?b a?b b a?b a?b
????2，即a?b?2 时，⑵式成立﹙图
a a (a) (b) (c) 图5-1 2、下列说法是否正确，为什么？
⑴与x、y 、其方向角为(,,)； z三坐标轴的正向夹角相等的向量，
333???⑵ 2i?j；
⑶如图5–2所示，则力F在向量S上的分力为 F
Fcos? . )? S 答 图5-2 ⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是.因为任一向量的三个方向角?、?、?应满足关系式
cos2??cos2??cos2??1，当????? 时，有
?3 3
3cos2??1?cos???1/3，即??arccos(?1/3)??/3 .故⑶的说法
是错误的.又因cos2?3?3?cos2?3?cos2?3?3?1 ，所以，还可看出，三个4方向角均为的向量根本不存在.
⑵不正确.不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样.如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如2i?j.
⑶不正确.F在S上的分力是一个方向和S平行的力﹙向量﹚，而
Fcos?仍是一个与F同方向的力，F在S上分力的正确表示应是
SS ，其中es?表示分力的方向，是S方向的单位向SSFcos?es?Fcos?量.
四、例题增补
例1 已知三点Ａ﹙?1,2,3﹚,Ｂ ﹙1,1,1﹚，Ｃ ﹙0,0,5﹚. 求 ⑴ AB,BC,AC；
⑵ AB?AC在x轴上的投影及y轴上的分向量； ⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形.
解 ⑴AB??1?(?1)?i?(1?2)j?(1?3)k?2i?j?2k; BC?(0?1)i?(0?1)j?(5?1)k??i?j?4k;
AC??0?(?1)?i?(0?2)j?(5?3)k?i?2j?2k.
⑵因为AB?AC?3i?3k，所以AB?AC在x轴的投影为3，在y轴上的分向量为?3j.
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⑶因为
AB?22?(?1)2?(?2)2?3 AC?12?22?22?3BC?12?12?42?18
所以
AB?AC?BC, 故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形.
例２ 证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。
证 如图5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此
11AB,BN?NC?BC,22 C P
11DB?PC?DC,AQ?QD?AD.22AM?BM?222D
由于MN?MB?BN,QP?QD?DP, N Q 故 M B
1111AB?BC?(AB?BC)?AC, A 22221111QP?AD?DC?(AD?DC)?AC, 图5-3
2222MN?所以 MN?QP，
这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形.
五、习题解析
1、已知点Ａ﹙2,1,4﹚，Ｂ﹙4,3,10﹚，
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