（1）写出线段ＡＢ的中点坐标； （2）写出以线段AB为直径的球面方程.
解 ⑴记线段ＡＢ中点的坐标为﹙x0,y0,z0﹚，则 x0?2?41?34?10?3,y0??2,z0??7， 222⑵半径r?(3?2)2?(2?1)2?(7?4)2?11， 由(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2，得所求球面方程为 (x?3)2?(y?2)2?(z?7)2?11.
注 一般定比分点坐标的求法.
设点Ｍ﹙x,y,z﹚是线段M1M2的分点，且M1M??MM2，
(??0,内分点；??0，外分点，???1)，则分点Ｍ的坐标为
x?x1??x2y??y2z??z2,y?1,z?1, 1??1??1??当??1时，Ｍ为M1M2的中点.
５、已知点Ａ﹙3,?1,2﹚，Ｂ﹙1,2,?4﹚，Ｃ﹙?1,1,2﹚，试求点Ｄ，使得以Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形.
解 设平行四边形的4个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于
AB?DC，设Ｄ(x,y,z)，于是(?2,3,?6)?(?1?x,1?y,2?z),
所以x?1,y??2,z?8, 即Ｄ﹙1,?2,8﹚.
同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由AB?DB与AC?BD可得Ｄ﹙5,0,?4﹚与 Ｄ﹙?3,4,?4﹚.本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以 △ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，不妨画图试验证之.
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10、设 a?i?j?k,b?i?2j?k,c??2i?j?2k ， 试用单位向量
,eb,ec表示向量 i,j,k.
解 用消元法解由题设等式组成的方程组，易得
j?13(a?b),k?14(a?b?c),i?51112a?12b?4c, 而
a?3ea,b?6eb,c?3ec， 于是得 i?5312e63a?12eb?4ec， j?3ea?6eb3， k?34e?63a4eb?4ec.
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第二节 向量的乘法运算
一、内容要点
⒈ 数量积﹙点积、内积﹚ 定义 性质 夹角
ｂ在ａ上的投影 。 ⒉ 向量的向量积﹙叉积，外积﹚
定义： ，其中 是同时垂直于 符合右手法则。坐标表达式 设 ，则
性质
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是同时垂直于ａ，ｂ的单位向量，并且ａ，ｂ，
几何意义：⑴ 等于以ａ，ｂ为边的平行四边形面积； ⑵ ⒊ 混合积 定义 。
坐标表达式，设 ， 性质 ⑴
⑵ａ、ｂ、ｃ共面 或存在一组不全为0的数 ，使得 。 几何意义 等于以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体的体积。 二、数学要求和学习注意点
⑴ 掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。
⑵ 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、混合积的几何意义。
学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标系中的计算公式，注意归纳三种乘积的主要应用，特别是这三种乘积的几何意义在空间解析几何中有应用。
三、释疑解难
⒈ 下列命题是否成立？为什么？ ⑴
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⑵ 若 ，则ａ，ｂ，ｃ共面； 答
⑴ 不成立。可用反例说明。取 ，则 但
注 由⑴知，叉积不满足结合律。
⑵ 当 时，等式两端分别与ｃ作数量积，得 即
故ａ、ｂ、ｃ共面，命题成立。
⒉ 请归纳一下向量的数量积、向量积和混合积在几何中的主要用途。
答 ⑴ 数量积
按定义， ，可知数量积与向量的长度和夹角都有关。因此反过来可以利用数量积确定向量的长度及两向量的夹角。又，在直角坐标系中，数量积的计算公式 也比较简单，这就更增加了数量积在应用上的方便，特别值得指出的是，由数量积的这个计算公式，可以很容易地将向量积推广到到高维向量空间中去﹙详见线性代数教材﹚。
这里仅列举数量积的几何应用的要点：
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