﹙ⅰ﹚ 求向量的模： ；
﹙ⅱ﹚求两向量的夹角：当 时，
﹙ⅲ﹚求一个向量在另一个向量上的投影；
特别地，向量a在直角坐标系中的坐标为
﹙ⅳ﹚向量a和b垂直的充分必要条件是a·b＝0，或
以下再举一例说明数量积的应用。设
，已知向量 ，令 ，求 。
求解本题时，首先注意到 ，且 ，即 垂直的单位向量。在等式
两端与 作数量积，即得 类似可得 于是
为两两11
顺便指出，上式称为从坐标系Ⅰ﹙以 为基本单位向量的坐标系﹚到坐标系Ⅱ﹙以 、 、 为基本单位向量的坐标系﹚的坐标变换公式。由于 、 、 是两两垂直的单位向量，因此坐标系Ⅱ也是空间直角坐标系。两个直角坐标系之间的坐标变换通过数量积很容易计算出来。
⑵ 向量积 按定义
其中单位向量 同时垂直于ａ和ｂ，且ａ、ｂ、ｃ符合右手规则，在直角坐标系中，ａ×ｂ的计算公式是
以下列出向量积的几何应用要点：
﹙ⅰ﹚求与两个非共线向量ａ、ｂ同时垂直的向量ｓ，可取 ｓ＝ａ×ｂ 或 ｓ＝﹣ａ×ｂ
﹙ⅱ﹚求由两个非共线向量ａ、ｂ所确定的平面的法向量ｎ，可取
ｎ＝ａ×ｂ ﹙ⅲ﹚求以向量ａ、ｂ为邻边的平行四边形的面积
﹙ⅳ﹚给定不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，则点Ｃ到直线ＡＢ的距离
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﹙Ⅴ﹚向量ａ与ｂ 共线的充分必要条件是ａ×ｂ＝０。 ⑶ 混合积
＝﹙ａ×ｂ﹚·c在直角坐标系中， 的计算公式是
混合积的主要几何应用是：
﹙ⅰ﹚向量ａ、ｂ、ｃ共面的充分必要条件是 ＝０ ； ﹙ⅱ﹚以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体积 。 ⒊ 已知向量ａ，ｂ，ｃ，ｄ，从几何上说明：
⑴ 若ａ，ｂ不平行且ａ，ｂ，ｄ共面时，则存在 ， ，使得
⑵ 若ａ，ｂ，ｃ不共面，则存在， ，使得
答 ⑴ 由于ａ，ｂ不平行，故ａ≠０，ｂ≠０，因此当ｄａ 或ｄ ｂ 时，易知结论成立。否则设 ＝ａ， ＝ｂ ，＝ｄ过点Ｄ分别作 ， 的平行线，与直线ＯＢ，ＯＡ分别交于 ， ﹙如图５–４﹚，则
由于 ， ，故存在 ， ，使得 ， ， ，从
⑵ 当ｄ与ａ、ｂ或与ｂ、ｃ或与ｃ、ａ共面时，由⑴可知结论
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成立，否则设 ＝ａ，＝ｂ，＝ｃ，＝ｄ，过点Ｄ分别作平面平行平面ＯＡＢ，ＯＢＣ，ＯＣＡ，如图5﹣5得到一个平行六面体，则
由于 ， ， ，故存在 ， ，使得 ， ， ，从而有
注 本题的结论说明：在分解向量时，并不一定要分解成相互正交的分向量之和，也可分解成两﹙在平面情形﹚或三个﹙在空间情形﹚相互斜交的分向量之和，这是建立斜坐标系的理论依据。
四、例题增补
例1 设﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝２，求﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚
解 ﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚ ＝﹙ａ+ｂ﹚×ｂ·﹙ｃ+ａ﹚＋﹙ａ+ｂ﹚×ｃ·ａ
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＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ｂ×ｃ﹚·ａ＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝４。
例２ 设ａ、ｂ是两个非零向量，且 ＝１，〈ａ，ｂ〉＝ ，求
解
例３ 证明向量ｃ＝ 是表示向量ａ与ｂ夹角平分线方向的向量﹙ａ≠０，ｂ≠０﹚。
证 设 ， 分别表示与ａ，ｂ同方向的单位向量，则
由以 、 为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶角，于是
这是与ａ、ｂ夹角平行线平行之向量。 又
其中 ﹥０，故ｃ是表示ａ与ｂ夹角平分线方向的向量。
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