五、习题解析﹙习题５–２，教材下册第２２页﹚ ⒈ 设ａ＝３， ，求
⑴ ａ·ｂ；⑵ａ×ｂ；⑶ ｂ；⑷ａ；⑸。
解 ⑴ ａ·ｂ＝３×１＋﹙－１﹚×２+﹙－２﹚×﹙－１﹚＝３ ⑵ ａ×ｂ＝
⑶ ⑷ ⑸
⒎ 用向量法证明
⑴ 直径对的圆周角是直角； ⑵ 三角形的三条高交于一点。
证 ⑴ 如图５－６，AB是⊙Ｏ的直径，ｃ是半圆周上AB所对的任意一点，记＝ａ，＝ｂ，＝ｄ，＝＝ｃ，则
ａ＝ｃ+ｄ，ｂ＝－ｄ+ｃ， 因为
所以ａ·ｂ＝ ＝０，
由≠０，≠０，知＝０，所以ａ⊥ｂ，即直径所对的圆周角是直角。 ⑵ 如图５－７，在△ABC中，记＝ｃ，＝ｂ，＝ａ，则ａ＝ｂ+ｃ，设高线BE与CF相交于o，连AO，于是
＝0 ＝0。
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将上二式最后的等式相加，得
＝0，即 ＝0， ⊥ａ，得证。
⒐ 证明三个向量共面的充要条件是其中一个向量可表示为另两个向量的线性组合。
证 充分性 设ｃ＝，则 ＝0，故ａ、ｂ、ｃ共面。 必要性 参阅本节释疑解难问题3第1小题。
第三节 平面与直线
一、 内容要点 ⒈ 平面
点法式方程：Ａ﹙﹚＋Ｂ﹙﹚＋Ｃ﹙﹚＝０，平面的法向量ｎ＝﹙ＡＢＣ﹚。
一般方程：＝０，平面的法向量ｎ＝﹙ＡＢＣ﹚。 两平面间的关系：设 ＝０，则 １﹚ ２﹚
３﹚ 与的夹角 由下式确定
点与平面间的距离：设平面Ⅱ ＝０及Ⅱ外一点ｐ,则ｐ到Ⅱ的距离为
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⒉ 直线 一般方程
其中直线方向向量为
点向式﹙对称式﹚方程
其中ｓ＝﹙ｍ，ｎ，ｐ﹚为直线的方向向量。
参数方程
其中ｓ＝﹙ｍ，ｎ，ｐ﹚。 两直线的关系：设 ，则
⑴； ⑵＝０；
⑶两直线夹角，由下式确定：
⑷与共面 ＝０，其中点，点。
直线与平面有关系：设 ＝０，则 ⑴＝０；
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⑵；
⑶直线与平面的夹角，由下式确定：
⒊ 平面束方程
过直线Ｌ： 的平面束方程为 ＝０，其中为参数。 二、数学要求和学习注意点
掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面与平面、平面与直线、直线与直线的相互关系解决有关关问题。
学习本节内容时，要注意掌握平面和直线方程中各常数的几何意义，会根据所给的几何条件来选择恰当的方程并确定方程中的常数。确定平面的法向量和直线的方向向量是确定平面和直线方程的关健，要尽可能地把所给的几何条件归结到这上面去。此外，解题时要注意形数结合，尽可能作出示意图形以帮助思考。
三、释疑解难
⒈ 平面的一般方程 ＝０中含４个常数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，为了确定平面
方程所给的几何条件必须足够列出４个方程，这种说法对吗？
答 不对。事实上，由于常数Ａ、Ｂ、Ｃ不能为零，比如说Ａ≠０，这时＝０与 ＝０表示的是同一平面。记 ，则方程
＝０
只含３个待定常数，故只需要３个几何条件即可确定方程了。比如说，
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给出不在同一直线的三个点，就能把平面方程确定下来。
以上说明还适合于平面法向量ｎ＝﹙Ａ，Ｂ，Ｃ﹚和直线方向向量ｓ＝﹙ｍ，ｎ，ｐ﹚的确定。为了求得平面法向量ｎ，只需列出Ａ、Ｂ、Ｃ满足的2个方程就足够；为了求得直线方向向量ｓ，只需列出满足ｍ、ｎ、ｐ的2 个方程也就足够。
⒉ 在利用平面束方程来求通过直线 ，且与平面Ⅱ：＝０垂直的平面方程时，设所求平面的方程为
即 ＝０
此为矛盾方程，即无解。因此所求平面不存在。 上述解答对吗？
答 得出无解，不能断言所求平面不存在。因为平面束方程①并没有包含通过直线的所有平面，而是缺了一个平面；＝０。因此得出无解时，应再去验证平面 是否符合要求。若不符合，则问题无解；若符合，则 即为所求之平面。对于本题，由﹙１，１，–１﹚，﹙１，–２，–１﹚＝０知 ＝０恰为所求之平面。
四、例题增补
例１ 求过原点及点﹙６，–３，２﹚且与平面＝８垂直的平面方程。
分析 求平面方程的问题，要根据题设条件选取适当形式的平面方程，进而计算方程中的待定系数，最基本的方法是尽量归结到点法式方程讨论，若题设条件给出平面通过某一直线，则可利用平面束方
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