程处理。
解 原点与点﹙６，–３，２﹚连线的方向向量为ｓ＝﹙６，–３，２﹚，平面＝８的法向量为ｎ＝﹙４，–１，２﹚。由题设，所求平面的法向量可取为
或取＝﹙２，２，–３﹚，故所求平面方程为２﹙﹚＋２﹙﹚–３﹙﹚＝０，即
＝０。
例２ 设直线过点Ａ﹙–３，５，–９﹚且与两直线： ，和 相交，求此直线方程。
解 先求由点Ａ及所确定的平面
方向向量为ｓ＝﹙１，３，２﹚，过点﹙０，５，–３﹚。 设的法向量为，则 故为
＝０ 即
＝０ 同理，可求得由Ａ及所确定的平面为 ＝０ 故所求直线为
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例３ 判断下列两直线 ＝ ， ： ＝ ＝是否在同一平面上，在同一平面上求直线间的距离。
分析 判断两直线是否异面，最方便的方法是在两直线上各取一点与，检查向量 ﹙﹚是否为０。两直线之间的距离是指两直线的点之间的最短距离，也就是 在两直线的公垂线方向上的投影线段的长度，即有
解 直线上、的方向向量分别为＝﹙１，１，２﹚，＝﹙１，３，４﹚，两直线分别通过﹙–１，０，１﹚，﹙０，–１，２﹚ ＝﹙１，–１，１﹚，因为
所以，两直线， 为异面直线。 又因为
五、习题解析﹙习题５—３ 教材下册第３３页﹚ ⒎ 求下列投影点的坐标
⑴ 点﹙–１，２，０﹚在平面 ＝ ＝０上的投影点； ⑵ 点﹙２，３，１﹚在直线 ＝ ＝ 上的投影点。 分析 ⑴先求过该点与平面垂直的直线，再求垂线与平面的交
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点，即为所求投影；⑵先求过该点与已知直线垂直的平面，再求此平面与直线的交点，即为所求投影。
解 ⑴平面的法向量ｎ＝﹙１，２，–１﹚，即为平面的垂线的方向向量ｓ，于是过题设点的垂线方程为
＝ ＝
为了便于求垂线与平面的交点，将它化为参数式，为
＝ ＝ ＝ 代入平面方程，解得
＝
＝ ＝ ＝ 故所求投影为﹙–5∕3，2∕3，2∕3﹚。
⑵ 记过点﹙2，3，1﹚且与已知直线垂直的平面为Ⅱ，显见Ⅱ与该直线的交点即为所求投影点，易知Ⅱ的方程为
＝0 即 ＝0
在上述平面束中取一平面垂直于 面﹙＝0﹚，令 ＝﹙﹚⊥k。 即 ＝ 将 ＝ 代回平面束方程，得 ＝0， 于是直线在 面上的投影直线为
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同理，直线在 与 坐标上的投影直线分别为 与
注 将直线主方程 中消去 ，就得 ＝0，
这是已知直线向 面的投影面方程，与 面方程 ＝0联列就得投影直线方程
﹙参见教材第五节是曲线在坐标面上的投影﹚。
⑵ 直线 ，在平面 ＝0上的投影直线。 分析 这类问题，用平面束方程求解较简便。 解
过题设直线的平面束方程为
＝ ＝0， 即 ＝ ＝3。
将 ＝3代入①，于是得投影平面的方程为 ＝0， 将它与题设平面联立，即得投影直线的一般方程为
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⒒ 设 是直线Ｌ外的一点，Ｍ是直线Ｌ上的任意一点，且直线Ｌ的方向向量为ｓ，证明：点 到直线Ｌ 的距离为ｄ＝ ，由此计算
⑴ 点 ﹙３，–４，４﹚到直线 ＝ ＝ 的距离； 证 可借助向量积的几何意义证之。 如图５–８，记 ， ＝d,则面积 即得
⑴ 这里点M﹙4，5，2﹚s＝﹙2，–2，1﹚ ，
代入已证公式，得所求距离
⒔ 已知入射光线有路径为 ，求光线经平面 ＝0反射线后的反射 线方程。
解 平面 ＝0的法向量为n＝﹙1，2，5﹚，入射光线方向向
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量为 ＝﹙4，3，1﹚。设反射光线的方向向量为，则n为 与 夹角的平分向量，故当 时， ，从而存在 ≠0，使得 ， 从而 故
又将已知直线化为参数式方程
代入平面方程，解得
于是入射光线与平面的交点这M﹙–7，–5，所在直线方程为
第四节 曲面
一、内容要点
0﹚，因此，反射光线26