2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=A．2
B．2
C．
D．1
，则|z﹣2|=（ ）
2．（5分）（2015?济宁一模）已知全集U=R，集合A={x||x﹣1|≤2}，CUB=（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∪B=（ ） A．[1，3] B．（1，3] C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）
3．（5分）（2015?济宁一模）已知||=1，||=2，?（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为（ ） A．
4．（5分）（2015?济宁一模）已知f（x）=2sin（2x+
），若将它的图象向右平移
个单位，
B．
C．
D．
得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ） A．x=
5．（5分）（2015?济宁一模）函数f（x）=2
cosx
B．x= C．x= D．x=
（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（ ）
A．
B． C． D．
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6．（5分）（2015?济宁一模）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输
出的x不小于103的概率是（ ）A．
B．
C．
D．
7．（5分）（2009?湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36
x﹣2y
8．（5分）（2015?济宁一模）设变量x，y满足约束条件，则z=2的取值
范围为（ ） A．[4，32] B．[
9．（5分）（2015?济宁一模）已知抛物线y=x与双曲线
2
，8] C．[8，16] D．[，4]
﹣x=1（a＞0）有共同的焦点F，
2
O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则A．2
﹣3 B．3﹣2
C．
D．
?的最小值为（ ）
10．（5分）（2015?济宁一模）已知定义在R上奇函数f（x）满足①对任意x，都有f（x+3）=f（x）成立；②当根的个数是（ ） A．4 B．5 C．6
时，则在[﹣4，4]上
D．7
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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）（2015?济宁一模）若a=
cosxdx，则二项式（a
﹣
）的展开式中的
4
常数项为 ． 12．（5分）（2015?济宁一模）某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：
9 9.5 10 10.5 11 价格x 8 6 5 销售量y 11 n 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣3.2x+40，则n= ．
13．（5分）（2015?济宁一模）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为
元，若使用这台仪器的日
平均费用最少，则一共使用了 天． 14．（5分）（2015?济宁一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
15．（5分）（2015?济宁一模）以下四个命题： ①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则常数c的值是2；
2
②若命题“?x0∈R，使得x0+ax0+1≤0成立”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；
22
③圆（x﹣1）+y=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为1：4； ④已知p：x≥k，q：
＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，
+∞）．
其中真命题的序号是 （把你认为真命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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16．（12分）（2015?济宁一模）已知向量=（=?．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+
）的值；
sin，1），=（cos，cos
2
），记f（x）
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围． 17．（12分）（2015?济宁一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；
（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．
18．（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值； （Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；
（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．
19．（12分）（2015?济宁一模）已知等比数列{an}的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（n∈N），且S2，S4，S3成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=Sn﹣
（n∈N），求bn的最大值与最小值．
*
*
20．（13分）（2015?济宁一模）平面内动点M（x，y）与两定点A（﹣的连线的斜率之积为﹣，记动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
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，0），B（，0）
（Ⅱ）定点F（﹣2，0），T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当
21．（14分）（2015?济宁一模）已知函数f（x）=e﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（I）当a=e时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+
）…（1+
）＜e．
x
最小时，求点T的坐标．
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