【分析】（Ⅰ）取DC中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由
=0，
=0，
利用向量法能证明PA⊥平面DNC．
（Ⅱ）求出平面BMC的一个法向量和平面CDM的法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣MC﹣B的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：取DC中点O，连结PO， ∵侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD， ∴PO⊥底面ABCD，
∵底面ABCD为菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，OA⊥DC， 以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则A（
，0，0），P（0，0，
），B（
）， ）， ），
=（0，2，0），
C（0，1，0），D（0，﹣1，0），∴M（∴∴
=（
=0，
），=0，
=（
∴PA⊥DM，PA⊥DC，又DM∩DC=D，
∴PA⊥平面DNC． （Ⅱ）解：
=（
），
=（
），
设平面BMC的一个法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（﹣1，﹣，1），
由（Ⅰ）知平面CDM的法向量为∴cos＜
＞=
=
=（
=﹣
，
），
由图象得二面角D﹣MC﹣B是钝角， ∴二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣
．
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【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 18．（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值； （Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；
（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值．
（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．
（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2）， 且三人是否应聘成功是相互独立的．
乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率， ∴由题意得解得t=1．
（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为， ∴三人中恰有两人应聘成功的概率： P=
+
=
．
，
（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
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P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=P（ξ=1）=
，
+=
，
P（ξ=2）=++（1﹣）×=，
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为： ξ 0 P =，
1 2 3 Eξ=
由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=
＞0，
+=t+，
P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0，
P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=又0＜t＜2，∴1＜t＜2， ∴
（ξ）＜．
，
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19．（12分）（2015?济宁一模）已知等比数列{an}的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（n∈N），且S2，S4，S3成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=Sn﹣
（n∈N），求bn的最大值与最小值．
*
*
【考点】等比数列的性质；数列的函数特性．
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【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用等比数列的前n项和公式表示出S2，S4，S3，然后根据S2，S4，S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S2，S4，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到数列{an}的通项公式； （Ⅱ）Sn=1﹣
，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出bn的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，q≠1，则
∵S2，S4，S3成等差数列， ∴2S4=S2+S3，
又数列{an}为等比数列，
232
∴4（a1+a1q+a1q+a1q）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q），
2
整理得：2q﹣q﹣1=0， 解得：q=1或q=﹣， ∴an=
（Ⅱ）Sn=1﹣n为奇数时，Sn=1+
，
，随着n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=，
（n∈N），
*
；
因为y=x﹣在（0，+∞）上为增函数，bn=Sn﹣所以0＜bn≤； n为偶数时，Sn=1﹣
，随着n的增大而增大，所以S2≤Sn＜1，
（n∈N），
*
因为y=x﹣在（0，+∞）上为增函数，bn=Sn﹣所以﹣所以﹣
≤bn＜0；
≤bn＜0或0＜bn≤，
．
所以bn的最大值为，最小值为﹣
【点评】此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性
质是解本题的关键．
20．（13分）（2015?济宁一模）平面内动点M（x，y）与两定点A（﹣的连线的斜率之积为﹣，记动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
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，0），B（，0）
（Ⅱ）定点F（﹣2，0），T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当
最小时，求点T的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（I）由已知可得kMA?kMB=的方程；
（II）（i）证明：设T（﹣3，m），则直线TF的斜率kTF=﹣m．当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为：x=my﹣2，当m=0时，也满足上述方程．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆的方程联立化为（3+m）y﹣4my﹣2=0，可得y1+y2，y1y2，x1+x2．即可得出PQ的中点N．只要证明直线ON的斜率kON=kOT即可． （ii）由（i）可得|TF|=
．利用弦长公式可得
2
2
=﹣，化简即可得出动点M的轨迹C
|PQ|==．可得
=，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（I）由已知可得kMA?kMB=
=﹣，
化为，
∴动点M的轨迹C的方程为
；
（II）（i）证明：设T（﹣3，m），则直线TF的斜率kTF=
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为：x=my﹣2， 当m=0时，PQ的方程为：x=﹣2，也满足上述方程．
=﹣m．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
2
2
，
化为（3+m）y﹣4my﹣2=0，
22
△=16m+8（m+3）＞0，
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