及找到题目蕴含的相等关系．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，已知矩形ABCD和?BCEF，AF＝BE，AF与BE交于点G，∠AGB＝60°． （1）求证：AF＝DE；
（2）若AB＝6，BC＝8，求AF．
【分析】（1）欲证明AF＝DE，只要证明四边形ADEF是平行四边形即可； （2）连接BD．利用勾股定理求出BD，再证明△BDE是等边三角形即可； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，
∵四边形BCEF是平行四边形， ∴BC∥EF，BC＝EF， ∴AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AF＝DE．
（2）连接BD．
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6， ∵BC＝8， ∴BD＝
＝10，
∵四边形ADEF是平行四边形， ∴AF∥DE，
∴∠AGB＝∠BED＝60°， ∵AF＝DE＝BE， ∴△BDE是等边三角形，
21
∴AF＝BE＝BD＝10．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为 3 ，k的值为 12 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； （3）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y＝，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB＝根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；
（3）根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣3时，自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3， 可得n＝×4﹣3＝3；
把点A（4，3）代入反比例函数y＝，
，根据AAS可得△ABE≌△DCF，
22
可得3＝， 解得k＝12． 故答案为：3，12．
（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴相交于点B， ∴x﹣3＝0， 解得x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E， 过点D作DF⊥x轴，垂足为F， ∵A（4，3），B（2，0）， ∴OE＝4，AE＝3，OB＝2， ∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2， 在Rt△ABE中， AB＝
＝
＝
，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝BC＝∴∠ABE＝∠DCF， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）， ∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3， ∴OF＝OB+BC+CF＝2+∴点D的坐标为（4+
，AB∥CD，
+2＝4+，3）．
，
（3）当y＝﹣3时，﹣3＝
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，
解得x＝﹣4．
故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可． 六、解答题（本大题共12分） 23．阅读下列材料，并按要求解答． 【模型介绍】
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图． 【性质探究】
性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1． 【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2BD．
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点． （1）请你完成性质1的证明过程；
（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．
，AB＝5．求
【分析】（1）根据AAS即可证明；
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（2）①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．首先证明符合“k模型”，利用性质2根据相似三角形的性质即可解决问题；
②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N．由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM＝AH，AH＝EN，推出FM＝EN，再证明△FKN≌△EKN即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠A＝∠ECF＝∠B＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠F＝90°， ∴∠ACE＝∠F，∵EC＝CF， ∴△ACE≌△BFC．
（2）①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2， ∴AC＝
＝
，
∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠CHB＝90°，
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∴符合“K”型图， ∴△ACD∽△CBH， ∴∴
＝＝
＝＝
， ，
∵CH＝2，BH＝4， ∴DH＝4，
在Rt△BDH中，BD＝
＝4．
②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N．
由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA， ∴FM＝AH，AH＝EN， ∴FM＝EN，
∵∠FKM＝∠EKN，∠M＝∠ENK＝90°， ∴△FKN≌△EKN， ∴FK＝KE， ∴K为EF中点．
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造模型解决问题，属于中考压轴题．
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