26．设当时x?0,f(x)可导，且满足方程f(x)?1?解：将方程两边对x求导，得f?(x)??1x21x?x1f(t)dt,x?0求f(x)
?x1f(t)dt?f(x)x
1?11?x?x?将原方程的f(x)表达式代入上式，得f?(x)??1x2?x1f(t)dt??x1?1f(t)dt??
x?积分，得f(x)?lnx?C,由原方程中令x?1,可得f(1)?1，从而C＝1
故f(x)?lnx?1
27．设f(x)是连续函数，且f(x)?x?2?f(t)dt，求f(x)
01解：因为f(x)连续，所以?f(t)dt存在，不妨设?f(t)dt?l，于是f(x)?x?2l
0011积分有?f(t)dt?01?10(t?2l)dt，l?12t210?2l?l??12
故f(x)?x?1
28．设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设?f(x)dx?A,求?dx?f(x)f(y)dy
00x111解：I????10dx?f(x)f(y)dy?xx1?10f(x)dx?1xf(y)dy
x11 ???f(t)dt?f(y)dy??0??0??01x0f(t)dt?(?f(x))dx?2?10f(x)dx?f(t)dt
0x ?注意：
12x(?f(t)dt)0x210?12(?f(t)dt)?0x12A
2?0f(t)dt为f(x)的一个原函数。
29．设f(x)在???,???上连续，且对任何x,y有f(x?y)?f(x)?f(y)，计算
?1?1(x?1)f(x)dx
2解：对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证
明f(x)为奇函数。
令y=0，则由f(x?y)?f(x)?f(y)可得：f(x)?f(x)?f(0)?f(0)?0
又，f[x?(?x)]?f(x)?f(?x)，即f(x)?f(?x)?0，可知f(x)为奇函数，于是
1??1(x?1)f(x)dx?0
230．设f(x)，g(x)区间??a,a?(a?0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件 f(x)?f(?x)?A(A为常数)。（1）证明：??a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx
0xa（2）利用（1）的结论计算定积分?2?sinxarctanedx
?2 解：（1）证明：?a?af(x)g(x)dx??0?af(x)g(x)dx??a0f(x)g(x)dx
?? ??a?a0?af(x)g(x)dx令x?u??0af(?u)g(?u)du??a0f(?x)g(x)dx
f(x)g(x)dx??a0f(?x)g(x)dx??a0f(x)g(x)dx??0?f(x)?af(?x)?g(x)dx?A?g(x)dx0a（2）取f(x)?arctanex，g(x)?sinx，a??2，则f(x)，g(x)在???????2,2??上连续g(x)为偶函数。因为(arctanex?arctane?x)??0，所以arctanex?arctane?x?A， 令x?0，得2arctan1?A,于是，A???2，f(x)?f(?x)??2
故?2??2sinxarctanedx?x?2??20sinxdx??2??20sinxdx??2
31．设函数f(x),g(x)满足f?(x)?g(x)，g?(x)?2ex?f(x),且f(0)?0,g(0)?2,求
??0?g(x)f(x)??2?1?x(1?x)??dx ?x解：由f?(x)?g(x)，g?(x)?2e?f(x),，得，
xf??(x)?2e?f(x),于是有
?f??(x)?2ex?f(x)，解方程得f(x)?sinx?cosx?ex，又， ??f(0)?0,f?(0)?2??0?g(x)f(x)??2?1?x(1?x)??dx????0?g(x)(1?x)?f(x)???dx?2(1?x)????0?f?(x)(1?x)?f(x)???dx?2(1?x)??b2??0d(f(x)1?x)?1?e?1??32。设f(x)在?a,b?上有连续的导函数，且f(a)?0试证?f(x)dx?a(b?a)222???f(x)dx?ab
证明：f(x)?f(x)?f(a)?x?f(x)??f?(t)dt?????a?22?xaxf?(t)dt，于是由柯西不等式
?bxadt?a?f?(t)?2dt?(x?a)?ba?f?(t)?2dt
故
?baf(x)dx?12?b2a[(x?a)?[f?(t)]dt]dx?a?ba(x?a)dx?ba?f?(t)?2dt?1?b?a???f?(x)?a22b2dx33。讨论?x0p?1(1?x)q?1q?1dx的敛散性。
1p?1q?11p?1q?1解：?x01p?1(1?x)dx??20x(1?x)dx??12x(1?x)dx
1对?2xp?1(1?x)q?1dx，因为当x?0时，xp?1(1?x)q?1dx?xp?1所以当p?0时，瑕积分收
0敛；p?0时，发散
对?1xp?1(1?x)q?1dx，因为当x?1时，xp?1(1?x)q?1dx?(1?x)q?1所以当q?0时，瑕积
21分收敛；q?0时，发散
综上所述，瑕积分?xp?1(1?x)q?1dx当p?0，q?0时收敛，其余情形发散。
0134．已知f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内f??(x)存在，又连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y?f(x)于C(c,f(c))，且a?c?b，试证在(a,b)内至少存在一个?使得
f??(?)?0
证明：由题意，可对f(x)在?a,c?，?c,b? 上分别利用拉格朗日中值定理，于是有 f?(?1)?f(c)?f(a)c?a,?1?(a,c) f?(?2)?f(c)?f(a)c?a?f(b)?f(c)b?c?,?2?(c,b)
?A,B,C在同一直线上，?f(b)?f(c)b?cf(b)?f(a)b?a
故f?(?1)?f?(?2),因而，f?(x)在??1,?2?上满足洛尔定理。 于是，存在一个????1,?2???a,b?,使得f??(?)?0
35．若f(x)在?0,1?上三阶导数，且f(0)?f(1)?0，设F(x)?x3f(x),，试证在?0,1?内至少存在一个?，使得F???(?)?0
证明：用台劳公式证写出F(x)在x=0处的二阶台劳展开式为
F(x)?F(0)?F?(0)x?12!F??(0)x?213!F???(?)x （*）
32323?F?(x)?3xf(x)?xf?(x),F??(x)?6xf(x)?6xf?(x)?xf??(x)
?F(0)?F?(0)?F??(0)?0,于是（*）?F(x)?1313!F???(?)x (**)
3注意到 F(1)?f(1)?0,由（**）有F???(?)?0?F???(?)?0
测 试 题
——高等数学Ⅱ
一、选择题
1、设E=??x,y?x?y?0?，则（ ）
A、E为连通域； B、E不是连通域； C、E为单连通域； D、E为复连通域； 2、函数Z?arcSinx2?arcSinx3的定义域是（ ）
y?3A、?2???2 B、?3?1
C、?2?x?2且?3y?3 D、o?x2?y2?1 3、函数Z??x2?y2?1??x2?y2?的定义域是（ ）
A、x2?y2?0 B、x2?y2?0 C、O?x2?y2 D、O?X2?Y2?1
?11?4、lim?2x???xy?y??????xy?( )
A、等于e B、等于1 C、等于0 D不存在
?1x?0?sinxy5、设函数f?x,y???x则f?x,y?在（ ）上连续。( )
?yx?0?A、全平面 B、全平面除去原点
C、全平面除C轴 C、全平面除y轴
6、在矩开展区域D：x?xo??,y?y0??内,fx?x,y??fy?x,y??0是f?x,y??c（常量）的（ ）
A、必要条件 B、充分条件
C、充要条件 C、既非充非也非必要条件
?z?z7、设Z?u2?v2,u?x?y,v?x?y,则在?1,0?处偏导数的值分别为（ ） ,?x?yA、4和0 B、0和4 C、0和0 D、4和4
?u?u?u8、设u?x2?y2?z2,x?rc的值分别为osnsi?,Y?rnsinsi?,z?rcos?,则,,?r?o??（ ）
A、0，0, 2r B、0，2r，0 C、2r，0，0 D、0，0，0
9、当??（ ）时，由方程y?x??siny?0,能确定y?f?x?且y?x?具有连续导函数。( )
A、??1 B、??1 C、??0 D??0
?z?y??z10、在（）条件下，由方程Z?x?y??z2?所确定的函数。Z?x,y?满足方程( )
A、??z2?连续 B、??z2?可微
C、??z2?可微且??z2??0; D、??z2?z可微且yz?'?z2??0
???z?x。
11、设??u?v?x?y?0?x?xu?yv?1?0v?xv?yA、? B、
y?xy?x则?u的值为（ ）
C、
u?yy?x D、?u?xy?x
?x2?y2?z2?612、空间曲线?在点?1,2,1?处的切线必平行于（ ）
?x?y?z?0A、xoy平面 B、yoz
C、zox D、平面x?y?z?0
13、旋转椭球面2x2?y2?z2?16上点（2，2，-2）处外法线与Z轴夹角的余弦及切平面与x0z面夹角的余弦分别为（ ）
A、?C、
6666,?,?6666 B、?6666,,6666
D、
2
14、研究函数z??x2?y2?e??x?y2?的极值，有（ ）
A、有极大值Z?e?1，无极小值 B、有极小值Z?0 C、有极小植Z?0，极大值Z?e?1 D、无极植
8x15、研究函数Z???y,?x?0,y?0?的极值，有（ ）
xyA、在（4，2）处有极小值Z=6； B、在（4，2）处有极大值Z=6； C、在（1，2）处有极大值Z=10； D、无极值 16、函数f?x,y??x??y?（1，1）（-1，-1），则（ ）。 ?x?2xy?y有三个驻点（0，0）
22A、f?0,0?是极大值 B、f?0,0?是极小值
C、f(1,1),f(-1,-1)都是极小值 D、f(1,1)，f(-1,-1)都是极大值 17、若fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0，则在点?x0,y0?处函数f?x,y?（ ）
11A、连续 B、必取极值 C、可能取得极值 D、全微分d2=0
2218、函数Z?x?2y在条件x?y?5下的极值为（ ） A、极大值f(1,2)=5 B、极小值f(1,2)=5 C、极大值f(2,1)4 D、极小值f(2,1)=4 19、函数u?xyzx?y?z?5,在条件xy?yz?zy?8下（ ）
A、无极值 B、有极大值u?4C、极有极大值u?422427和极小值
427 D、仅有极小值u=4
20、圆x?2xy?5y?16y?0与直线x?y?8?0之间的最短距离是（ ） A、22 B、32 C、42 D、62