燕山大学本科生毕业设计(论文) ?z?1?z????r?????? (2-3) ??E在准静态情况下，有σr=σθ。定义一个量n=σz/σr ，称为振动体内纵向振动和径向振动之间的耦合系数，它是一个与坐标无关的值。令Ez=σz/εz，Er=σr/εr ,分别称为振动体在z方向和r方向的等效弹性系数。因此(2-1)、(2-2)、(2-3)三式可化为：
Ez?E (2-4)
?1?2?/n?Er?E (2-5) 2??1???nv?1?v???式中E为弹性体的弹性系数。圆柱体的轴对称耦合振动可以看作是两个分振动组成:由正应力σz产生的弹性系数为Ez的圆柱纯纵向振动和由正应力σr产生的弹性系数为Er的圆柱纯径向振动。这两个分振动并不相互独立，而通过耦合系数n相联系，n的大小决定了二者的耦合程度。由(2-4)(2-5)两式可看出，在考虑不同方向振动之间的耦合作用后，影响振动频率的参数E发生了改变，从而使一维情况下得出的频率方程不再精确描述振动体的振动特性。
基于以上考虑，得到的两端自由圆柱体耦合振动的频率方程如下：
(2-6)sin?2kzl??0kraJ0?kra???1?v?J1?kra??0 (2-7)
(2-6)式是长为2l的圆柱体纵振动频率方程，(2-7)式是半径为a的短圆柱径向振动频率方程，与传统理论不同的是，由于考虑了纵向和径向之间的耦合作用，两式中的波数kz、kr不是一维理论中的常数，而是与振动体尺寸有关的变量。式中kz=w/Cz ，kr=w/Cr，Cz?Ez/?，Cr?Er/? ，kz、 kr、Cz、Cr分别为等效的纵向及径向振动波数和声速，ω为角频率，ρ为材料密度，J0和J1分别为零阶和一阶Bessel函数。两式的解为：
2kzl?i?i?0,1,2,3... (2-8)
kra?R?j?matlab计算出R(1)=2.0735。
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j?0,1,2,3... (2-9)
式中R(j)为方程(2-7)的第j个根。讨论圆柱体在基频的振动，即i=j=1,利用
第2章 大尺寸弹性超声振动体的振动特性
由以上各式可得出圆柱体耦合振动的耦合系数方程及频率方程式：
2222??l?4R?j???l?4R?j?222n?2????0 (2-10) ??+??n??1?????2?2?a??i????a??i?????22?R2?j??i??2?R2?j?i???2???2??1???2???2?3?3?2?1?0 (2-11) 24l?4?la???a?式中Ω=C2/ω2,C2=E/ρ。当振动体几何尺寸和振动模式一定时，由(2-10)式可以得出正负两个耦合系数，其中，对于超声振动系统中常用材料硬铝做成的圆柱杆，泊松比ν=0.34。
2.1.2 短圆柱体耦合振动状态下有限元分析
为验证(2-10)、(2-11)两式对一维设计理论的修正作用，探究耦合振动对一维理论的影响，对一组长度直径比l/a不同的短圆柱体进行了理论计算和有限元仿真研究。圆柱杆材料为硬铝，泊松比ν=0.34,杨氏模量E=7.15e10N/m2，密度ρ=2790kg/m3,纵波波速C=5150m/s。由于实体为圆对称结构，为提高计算速度，取实体的四分之一模型，采SOLID45(Brick 8node 45)结构单元对实体模型进行网格划分，采用映射网格划分法生成网格并加载对称边界条件后生成的模型如图2-3所示(限于篇幅，以下均只给出长径比为0.4时的有限元各步骤的分析模型)。模态分析采用计算精度高、速度快的Block Lanczos法，图2-4为基频时的径向振动。应该注意的是，长径比越大(或越小)，寻找径向(纵向)振动的模态越困难，在径向(纵向)振动频率附近往往出现数十个其他振动模态，所以恰当的选择搜索频率区间和提取模态的阶数(一般提取10–20阶为宜)显得尤为重要。
图2-2 圆柱体建模示意图 图2-3 圆柱体径向振动示意图
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燕山大学本科生毕业设计(论文) 由一维理论计算出的纵向及径向振动共振频率分别为f0z、f0r，耦合理论计算出的纵向及径向共振频率分别为f1z、f1r，有限元分析值分别为fz、fr。不同长度直径比的六个频率的数值如表2-1所示。与有限元分析值作比较，一维理论和耦合理论值的精度比较如表2-2所示。
表2-1利用三种计算方法得到的短圆柱共振频率
编号 l/mm 1 2 3 4 5 6 7
24.0 33.6 50.0 57.3 45.5 27.7 60.0
a/mm 120.0 84.0 71.5 57.3 35.0 15.0 30.0
l/a 0.2 0.4 0.7 1.0 1.3 1.85 2.0
f0z/Hz
f0r/Hz
f1z/Hz
f1r/Hz
fz/Hz
fr/Hz
53646 15060 38318 21514 25750 25275 22469 31539 28297 51634
67515 114846 64710 14652 50640 20196 39986 20223 20161 43607 26652 68013
46492 20114 42720 20245 20122 43558 26760 64234
46413 120480 45139 153729 44706 165093 21458 60240
20959 76518
20708 79066
表2-2 一维理论与耦合理论的误差值比较
编号 1 2 3 4 5 6 7
|(f0z- fz)/ fz |% 17.1 17.5 39.7 11.7 5.7 3.8 3.6
|( f0r-fr)/ fr|% 2.7 6.9 24.8 27.6 19.6 27.0 23.8
|(f1z- fz)/ fz |% 4.3 8.9 6.3 0.2 0.4 0.9 1.2
|(f1r- fr)/ fr|% 1.3 0.4 0.1 0.1 6.8 6.9 3.2
由一维理论和耦合理论计算短圆柱体纵向共振频率及径向共振频率，对比有限元仿真值的精度比较分别如图2-6、图2-7所示。由两图可以看出，研究大尺寸圆柱振动体振动特性时，由于耦合作用的影响，一维理论得出的结果误差较大，此时由耦合理论得出的结果百分比误差可控制在个位数以内，是一种理想的针对大尺寸振动体研究方式。应当注意的是，在径长比为0.7附近，径向和纵向的耦合作用最强烈，径向振动对纵向振动的影响最大，由一维理论给出的结果误差最大。
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第2章 大尺寸弹性超声振动体的振动特性
4540353025201510500.20.40.710L/a1.31.852一维理论计算误差耦合理论计算误差
图2-4 两种理论计算纵向振动频率精度比较
3025201510500.20.40.710L/a1.31.852一维理论计算误差耦合理论计算误差
图2-5 两种理论计算径向振动频率精度比较
2.1.3 小结
(l)实际振子的振动都是各振动模态之间相耦合的结果，只有长径比满足一定要求时一维理论才能得出可接受结果。研究大尺寸振动体时一维理论计算结果往往出现较大误差，需考虑各振动模态间的相互耦合作用。
(2)基于耦合理论得出的短圆柱体频率方程可解得两个频率，即径向共振频率和纵向共振频率，较一维理论值更接近于有限元仿真值。
(3)有限元仿真大尺寸体时，长径比大(小)时径向(纵向)共振频率不易获得，需合理选择搜索频率的带宽和提取模态的阶数。另外，若对(2-11)式进
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燕山大学本科生毕业设计(论文) 一步分析，求出一元二次方程的二根之差，有:
22?22?R22????4la?2??1???2??16l2a21?2?3?3?2?? (2-12) 4l???a?1??2=????R2?2R2?2????由(2-12)式可以看出，在不同长径比情况下，可知纵径共振频率之差总不为
零，总会有一个极小值存在。
2.2 大尺寸指数超声变幅杆的精确设计
超声变幅杆是功率超声技术中换能器振动系统的一个重要组成部分，当用于大功率、高声强的超声系统中时，同其他杆件一样，由于泊松效应的影响，也不可避免的出现了一维理论下设计精度与杆件尺寸的矛盾。不少学者提出了精确设计大尺寸超声变幅杆的理论和方法[16]，但大多数方法是基于数值计算或有限元法，计算复杂且精度不足。本文将通过附加能量这一理论对超声系统中最常见的大尺寸指数形变幅杆的共振频率精确计算做出修正。
2.2.1 基于附加能量法修正变幅杆共振频率的理论
对于大尺寸匀质超声变幅杆，横向振动较为强烈，横向振动对纵振动的影响较为明显，且横向尺寸越大，这种影响愈加强烈。从振动能量角度考虑，一维理论下仅考虑了变幅杆纵向振动的势能和动能，而大截面的变幅杆中由于较强横向振动的存在，导致振动系统动能增加。动能增加增大了振动系统的惯性，使变幅杆的等效分布参数发生了变化，从而降低了纵振动的传播速度，引起变幅杆纵振动共振频率的下降。根据瑞利假设，振动体中形变前处于同截面上的质点，振动中仍处于同一截面，径向形变是均匀的，即径向位移与半径成正比。基于这种假设，变幅杆的径向应变可写为:
?u?r????z???z (2-13)
?z其中，v为泊松系数，εr为径向应变，εz为纵向应变，uz为纵向位移。
因为是应变均匀的，即径向位移ur (r, t)=rεr，所以径向位移和振速的分布函数可写为:
ur?r,t????r 10
?uz (2-14) ?z