第2章 大尺寸弹性超声振动体的振动特性
?ur?2uz?u???r???rz (2-15) ?t?z?t?z其中uz为纵向振速，uz??uz/?t 。
考虑到变幅杆相同截面上质点振动位移关于中心轴对称，则半径相等的环带微元上的质点具有相同的位移和振速分布。如图2-9所示，环带微元的质量可表示为:
dm??dsdz?2??rdrdz (2-16)
其中ρ为变幅杆材料的密度。
图2-6 轴对称单元体示意图
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由动能定理，环带微元的径向及纵向能量可分别表示为:
1??u???u径向振动能量： der?dm?r?????2?z2??t???z2?3?rdrdz (2-17) ?1??u?纵向振动能量： dez?dm?z????uz2rdrdz (2-18)
2??t?假设变幅杆的形状函数为R=R(z)，长度为l，则一维理论下系统纵振动总能量为：
l2R?z?ez???dez????uzdz?00rdr (2-19)
考虑横向振动后，系统引入的附加能量为：
l??u?R?z??er???der????2??z??r3dr (2-20)
0??z?0设系统作一维纵振动的等效质量为me，考虑横向振动引起的附加能量
'后其等效质量变为me，则有:
'mee??er (2-21) ?zmeez
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燕山大学本科生毕业设计(论文) 由(2-21)式可知，考虑变幅杆的横向振动后系统的等效质量增大。不考虑横向振共振频率与系统的等效质量的平方根成反比，因此，可得如下关系式：
1212f?me??ez???'???? (2-22) fn?mee??er???z其中fn为纯的一维纵振动的共振频率，fn'为考虑横向振动后系统的共振频率。由此式可以看出，考虑横向耦合作用后，变幅杆的共振频率将会减小。
'n2.2.2 指数形变幅杆共振频率的修正
对指数形变幅杆，形状函数为：R=R1e-βx，设长度为l，大端和小端半径分别为R1，R2。
在两端自由条件下，其简谐振动的纵振动振速分布函数为：
?z?z,t??Ae?xcos?k'x???ejwt (2-23) u12?f1?R1?'222其中，A为常数，?=ln??，k??k???，k?，f为纵振动共振
cl?R2?频率，c为纵波波速，为简化计算，令初相位φ=0。
将(2-23)式及形状函数代入(2-16)，(2-17)式，得：
A2R1???1'?ez?l?sin2kl? (2-24) ?'4?2k?A2R14?2???er?Bsin2k'l?Ccos2k'l?D? (2-25) ?4其中：
848?2k'e2?l?e2?l?k'2e2?lC??? (2-27)
488?D??e2?l?1??k'2?1? (2-28)
4B??e2?l??2k'e2?l??k'2e2?l (2-26)
将(2-24)、(2-25)式代入(2-19)式可得到考虑横向振动耦合作用后指数变幅杆纵振动共振频率的修正公式。
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第2章 大尺寸弹性超声振动体的振动特性
表达式为：
fn'?fn??''?23Bsin2kl?Ccos2k?D?1+?R1??1'??l?'sin2kl2k??12 (2-29)
式中的fn由指数变幅杆一维纵振动频率方程sink’l=0求得。此式即为考虑横向振动耦合作用后指数变幅杆纵振动共振频率的修正公式。
为验证本文理论的精确度，作者设计了一组较大尺寸的指数变幅杆，利用本文理论和一维理论分别计算了变幅杆的共振频率，将结果与利于有限元软件ANSYS得出的仿真结果进行了比较。
2.2.3 结果验证及变幅杆的有限元仿真
取变幅杆材料为45号钢，其弹性模量E=2.16ellN/m2，泊松系数σ=0.28，密度ρ=7.84×103kg/m3，各变幅杆的尺寸参数见表2-3。
图2-7 指数变幅杆建模图形 图2-8 变幅杆振型
在对大尺寸指数型变幅杆进行模态分析时，采用自底向上建模方法，在关键点对话框里面嵌入指数型变幅杆母线的函数，在其母线上创建15个关键点并连接成曲线，然后旋转面生成体。选用ANSYS单元库里的SOLID45结构体单元建立实体模型，如图2-10。利用扫掠法对实体进行网格划分。在求解过程中定义分析类型为模态分析(Modal)，选用计算精度高，求解速度快的Block Lanczos法进行求解计算，设置扫频范围为15000-25000Hz(以表格中所列的二号变幅杆为例)提取20阶模态，求解后进入通用后处理器观察
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燕山大学本科生毕业设计(论文) 求解结果。求解后的变幅杆振动模型如图2-11所示(这里仅给出第二个变幅杆的振动模型)。不同尺寸变幅杆仿真结果如表2-3所示。fl为一维理论下纵振动计算值，f2为本文理论下计算值，f3为有限元仿真值。
表2-3 不同尺寸指数变幅杆理论值与仿真值
R1(m) R2(m) l(m) f1(Hz) f2(Hz) f3(Hz) Δf1 (%) Δf2(%) 0.08 0.06 0.05 0.04
0.015 0.15 19829 17014 16273 0.015 0.15 12128 18612 18238 0.02 0.02
0.15 18229 17939 17812 0.15 17921 17815 17711
21.9 4.9 2.3 1.2
4.6 2.0 0.7 0.6
由表2-3所示的各个值可以看出，在径长比R1/l较小时，一维理论和耦合理论得出相近的结果，在变幅杆尺寸较大时，径长比R1/l越大，一维理论值背离仿真值越远，本文理论得出的结果更接近于有限元仿真值。
2.2.4 小结
基于能量修正法对大尺寸指数形变幅杆共振频率进行了修正，给出了大尺寸指数变幅杆的频率修正公式。结果表明，修正结果比起一维理论值更接近于有限元仿真值，变幅杆尺寸越大(即径长比越大)修正效果越明显。此理论同样适用于其它如圆锥形，悬链线形等形状的单一变幅杆及复合变幅杆。
2.3 有限尺寸压电体耦合振动特性
2.3.1 有限尺寸压电圆片振子的耦合振动理论
如图2-12所示，一个沿厚度方向极化的压电陶瓷圆片，半径为a，厚度为2l，在柱坐标中取z轴为极化方向，且z轴为圆片的旋转对称轴。分析中不考虑振子的扭转及剪切形变，只研究振子的轴向振动，忽略压电效应(对结果的影响并不大)但考虑压电陶瓷的各项异性，实际上极化后的压电陶瓷在垂直于z轴的平面上各向同性。
此时可得以下压电方程[11]：
EEE?r?s11?r?s12???s13?z (2-30)
EEE???s12?r?s11???s13?z (2-31)
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第2章 大尺寸弹性超声振动体的振动特性
EEE?z?s13?r?s13???s33?z (2-32) 图2-9 压电陶瓷圆片示意图
(2-30)、(2-31)、(2-32)三式中的SijE为短路弹性柔顺常数，εr、εθ、εz和σr、σθ、σz分别为振动体内的径向、切向和轴向应变分量和应力分量。在准静态情况下，圆形振子的轴对称自由振动有σr=σθ近似成立。令n=σz/σr=σz/σθ在称―振子的径向和厚度振动之间的耦合系数，由(2-30)、(2-31)、(2-32)三式可得:
EEz??s?33?1?2?31n??? (2-33)
?1Er?s???1??E11?212????1???n???E1312?1 (2-34)
式中Ez=σz/εz, Er=σr/εr, Ez和Er分别称为振子厚度及径向的等效弹性系数，ν12=-s12E/s11E, ν13=-s13E/s11E, ν31=-s13E/s33E，对于各项同体，s33E=s11E=E-1，ν13=ν12=ν31=ν，E和ν杨氏模量和泊松系数。根据以上分析，对于有限尺寸压电陶瓷圆片的耦合振动，在多模振动和自由边界条件下，可得到其厚度及径向的耦合振动频率方程：
ctgkzl?0 (2-35)
kraJ0?kra???1??12?J1?kra? (2-36)
可以看出，与现有的一维理论结果不同，原来理论中的波数k现在变成了kz及kr。式中kz=ω/Cz，kr=ω/Cr，Cz=(Ez/ρ)1/2， Cr=(Er/ρ)1/2, kr，kz，Cr，Cz分别称为等效波数及等效声速。J0(kra)及J1(kra)分别为零阶及一阶贝塞尔函数。由(2-29)，(2-30)式可得：
kzl??2i?1??2
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?i?1,2,3...? (2-37)