第3章 大尺寸夹心压电超声换能器振动特性
向振动和纵振动的耦合。这种情况下，对于夹心换能器其剪切应变和剪切应力可以忽略[23]，并且不考虑换能器的弯曲振动而只考虑纵振动和径向振动。引入机械耦合系数后，换能器复杂的耦合振动可以简化成为两个等效的振动:一个是在厚度方向上的纵振动，另一个是在半径方向上的等效径向振动。但是这两个等效振动并不是孤立的，他们通过机械耦合系数联系在一起。这里的机械耦合系数定义为纵向应力与径向及切向应力之比。应该注意的是，这里引入的两个等效振动是完全区别于传统的一维振动的，两个等效振动具有不同于一维振动的等效弹性常数，这些等效弹性常数不仅有赖于材料参数，而且与换能器的尺寸及纵径耦合程度有关。
根据等效弹性分析方法，换能器的耦合振动可看作纵径两个振动的耦合振动，因此，其共振频率方程可看作是纵向及径向共振频率方程的结合。为简单起见，本文仅讨论换能器纵径振动模态的基频，这种情况下，夹心换能器是一个半波振子，位移最大值在其两端，最小值即节面位于换能器的中心处。
如上所述，换能器是两个四分之一波长振子的组合，一部分为长为的l1盖板和厚度为l01的压电陶瓷圆片组成，另一部分为长为l2的盖板和厚度为l02的压电陶瓷圆片组成。在接下来的分析中，首先导出换能器径向振动频率方程，然后是四分之一波长振子的纵振动频率方程。
3.1.1 耦合作用下夹心换能器盖板的径向频率方程
当盖板的长度不满足细杆条件时，一维理论不再适用，由第二章所讨论的内容，研究了有限长的圆柱体的耦合振动并引入了机械耦合系数这一概念，得出了其共振频率方程并分析了两种耦合振动的性质。根据这种分析方法，把盖板的耦合振动看作两个等效振动：一个是等效径向振动，另一个为等效纵向振动。对于等效径向振动，当它的外径不受外力即处于自由边界条件如Tri|r=R时，盖板径向等效振动的共振频率方程可由下式给出[24]:
kriRiJ0?kriRi??1??ini??J1?kriRi??1??i?2?ini??0 (3-1) 式中，i=1,2，代表前后两个金属盖板，Ri是金属盖板的半径，J0和J1，分别是零阶和一阶贝塞尔函数，νi是金属的泊松比，kri=ω/Cri，Cri=(Eri/ρi)1/2，kri、
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燕山大学本科生毕业设计(论文) Cri分别为径向等效波数和声速，ρi为前后金属盖板的密度，ni=Tzi/(Tri+Tθi)，Tzi、Tri、Tθi分别为纵向、径向和切向应力，ni为引入的前后金属盖板的机械耦合系数，ω为角频率。从以上分析中可以看出尽管前后盖板的等效径向振动频率方程形式上类似于薄圆盘的径向振动频率方程，但它们是有区别的。在(3-l)式中，不同于薄圆盘径向振动共振频率仅与径向尺寸有关，此时的等效径向振动还依赖于纵振动。
3.1.2 耦合作用下夹心换能器压电陶瓷圆片的径向频率方程
如前所述，这里的压电陶瓷圆片同样不满足一维理论，分析方法同于金属盖板，不同的是金属盖板为各向同性的，而压电体则仅在垂直于极化方向的平面上是各向同性的，且其压电性不得不考虑。基于压电方程和运动方程，忽略剪切应变和剪切应力并引入机械耦合系数后，复杂的压电陶瓷圆片耦合振动可简化为两个等效振动：一个是压电陶瓷圆片半径方向上的等效径向振动，另一个为厚度方向上的等效纵振动。这两个等效振动具有不同的弹性常数。当压电陶瓷圆片外径处于自由边界条件时，Tr0j|r=R=0，这里R为压电陶瓷片的半径，Tr0j为其径向应力。结合这个边界条件，耦合振动时压电陶瓷圆片的等效径向振动共振频率方程可写为：
kr0jR0J0?kr0jR0??1??13n0j??J1?kr0jR0??1??12?2?13n0j??0 (3-2)
式中，j=1，2，代表节面前后的两块压电陶瓷圆片，R0为陶瓷片的半径，J0和J1分别为零阶和一阶贝塞尔函数，ν12=-s12E/s11E，ν13=-s13E/s11E，sijE为压电材料在恒电场的弹性柔顺常数，k0j=ω/Cr0j，Cr0j=(Er0j/ρ0)1/2，k0j，Cr0j分别为压电陶瓷圆片的等效径向波速和声速，ρ0为其密度。
?1?11Er0j??EE?EE?E?2?s11?s12s11?s12?2s13n0j?? (3-3)
1??13n0j?Es11?1??12??1??12?2?13n0j?Er0j称为压电陶瓷圆片径向振动的等效弹性常数， n0j=Tz0i/(Tr0i+Tθ0i)，Tz0i，Tr0i ，Tθ0i分别为纵向、径向和切向应力， n0j为引入的压电陶瓷片的机械耦合系数，ω为角频率。
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第3章 大尺寸夹心压电超声换能器振动特性
3.1.3 耦合作用下四分之一波长振子的纵向频率方程
由以上讨论，四分之一波长振子的耦合振动也可看作是径向振动和纵振动的合成。一般来说，四分之一波长振子耦合振动中存在四个等效振动，分别是压电陶瓷圆片和盖板的等效径向振动及两部分的等效纵振动。两个等效径向振动上面已经分析过了，且给出了径向等效振动的共振频率方程。下面研究振子厚度方向的等效振动。四分之一波长振子包含两部分，即盖板和压电陶瓷圆片，其纵向振动的边界条件为：(1)换能器的输出端(即盖板与外界负载接触端)所受纵向外力为零，即Tiz=0。(2)在盖板与压电陶瓷片接触处纵向应力和纵向位移连续，即ξzi=ξz0i，SiTzi= S0Tz0i，这里ξzi，ξz0i分别为盖板和压电陶瓷片中的纵向位移。(3)在位移节点处(换能器的位移节点将陶瓷堆分成l01和l02两部分)边界条件为位移为零。结合这些边界条件，四分之一波长振子的等效纵振动频率方程可写为：
tan?kz0jl0j?tan?kzili????0Cz0jS0???iCziSi? (3-4) 式中，l0j为四分之一波长振子中压电陶瓷圆片的厚度，kz0j为等效纵振动波数，kz0j=ω/ Cz0j，Cz0j为压电陶瓷中的等效纵波声速，Cz0j=(Ez0j/ρ0)1/2，Ez0j为压电陶瓷的等效纵振动弹性常数。
?EsEd?d31??1333Ez0j??s33??T?d33?????n?n?0j33?0j???? (3-5)
1?E2s33?1??n?k?1??31n0j??310j33??ν31=-s13E/s33E，λ31=-d31/d33，d31和d33为压电常数，ε33T为介电常数，k332=d332/( s33Eε33T)，k33为压电圆片纵振动时的机电耦合系数，S0=πR02，li为前后盖板的长度，kzi为等效纵波波数，kzi=ω/Czi，Czi为前后盖板的等效纵波波数，Czi=(Ezi/ρi)1/2，Ezi为四分之一波长振子中前后盖板的等效纵振弹性常数，Ezi=Ei/(1-νi/ni), Si=πRi2为前后盖板的横截面积。
式(3-4)看起来和一维纵振动时的半波长夹心换能器的频率方程很相似，实质上二者是有区别的。考虑耦合振动时的换能器的频率方程依赖于机械耦合系数，而机械耦合系数正是衡量纵径振动相互影响程度的一个量。
以上分析中，(3-1)、(3-2)、(3-4)分别给出了耦合振动时四分之一波长振
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燕山大学本科生毕业设计(论文) 子径向和纵向振动频率方程。在这三个方程中，只有ni、ni0、ω为未知量，很容易得出三个未知量的值。三个频率方程均有许多个根，分别对应不同的振动模态，例如基频和泛频。确定了某个要求的振动模态，则对应的共振频率也就确定了。大多数功率超声或水声换能器要求工作在基频状态，因此本文将仅分析基频时换能器的工作特性。
3.2 有限元仿真
为验证本文结果，作者设计装配了两个大尺寸压电夹心换能器并利用ANSYS进行了有限元仿真。换能器选择的尺寸见表格3-1，表中l1为后盖板长度，l2为前盖板的长度，l01、l02分别为两片压电陶瓷片的厚度，一号换能器的前后盖板材料均采用硬铝，其材料属性为：E=7.1×1010N/m2，σ=0.33,ρ=2.7×103kg/m3,预应力螺栓材料为45号钢，材料属性为：E=21.6×1010N/m2，σ=0.28, ρ=7.84×103kg/m3。二号换能器的前后盖板及预应力螺栓材料均取为45号钢，其材料属性同上。两个换能器均采用两片PZT-4做压电晶堆，其材料属性为：ρ=7500kg/m3, kp=0.58，k33=0.70，s11E=12.3×10-12m2/N，s12E=-4.05×10-12m2/N，s13E=-5.31×10-12m2/N，s33E=15.5×10-12m2/N，d31=-123×10-12C/N，d33=-496×10-12C/N，ε33T/ε0=1300，ν12=0.33，ν13=0.43。为简化计算，这里设计的换能器前后盖板厚度相同，两片压电陶瓷圆环的厚度也相同，这样换能器的节面位于振子的两片压电陶瓷片的接触处，即是一个严格对称的半波长振子。由于考察夹心换能器的纵向振动更具有实际意义，因此本例中仅考察耦合作用对大尺寸换能器纵振频率的影响。
表3-1仿真用换能器的尺寸参数
编号 1 2
l1(mm) 30 38
l2(mm) 30 38
R1(mm) 26 31
R2(mm) 26 31
l01(mm) 6 8
l02(mm) 6 8
R0(mm) 25 30
不同方法得到的换能器纵振动共振频率值见表3-2。其中fl0为本文理论计算所得换能器纵振共振频率值，fl1为一维理论所得换能器纵振共振频率值，f为有限元仿真得出的换能器纵振共振频率值，Δf1为与仿真值比较本文
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第3章 大尺寸夹心压电超声换能器振动特性
理论所得结果的误差值，Δf2为与实验值比较一维理论误差值。
表3-2不同方法得到的换能器纵振动共振频率值
fl0(Hz) 31231 23179
fl1(Hz) 34155 28232
f(Hz) 31826 23789
Δf1(％)
0.56 1.26
Δf2(％)
7.3 23.3
使用有限元软件ANSYS仿真时，由于两个电极片较薄，建模时忽略不计，另外在较低频率下，预应力对共振频率的影响不大，因此本例有限元仿真中未考虑预应力的作用。以一号换能器为例，采用SOLID5单元类型，并分别定义两个单元的自由度为UX、UY、UZ和UX、UY、UZ、VOLT。由于换能器的对称性，为节省计算时间建立四分之一实体模型，加载对称边界条件，采用映射法生成网格。生成的换能器模型如图3-4所示。图3-5为求解后换能器纵向振动示意图，共振频率为31826Hz(反共振频率为34877Hz)。
图3-2 换能器四分之一模型 图3-3 换能器纵向振动示意图
图3-4 换能器导纳Y模值频响曲线
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