线段长为22,则f(x)的解析式为 ；（答：f(x)?②代换（配凑）法――已知形如
12x?2x?1） 2f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。
如（1）已知
f(1?cox)s?si2xn,求fx2??的解析式（答：
； f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）1122 （2）若f(x?)?x?2，则函数f(x?1)=_____（答：x?2x?3）；
xx（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，f(x)=________（答：x(1?3x)）
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。
③方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。
如（1）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，则f(x)的解析式 （答：
f(x)??3x?2）； 31,则f(x)= （答：x?1g(x)是偶函数，（2）已知f(x)是奇函数，且f(x)+g(x)= x
） 2
x?1
（3）求定义域——使函数解析式有意义(如：分母、偶次根式被开方数、对数真数、底数、
零指数幂的底数、实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；
gx)定义域为________（答：如：（1）函数y?f(x)定义域为?,2?，则f(lo22???1??x|； 2?x?4）
?（2）若函数f(x2?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）
（4）求值域方法
①配方法；如：函数
； y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域 （答：[4,8]）
3xxx②逆求法（反求法）；如：y?通过反解，用y来表示3，再由3的取值范围，通x1?3过解不等式，得出y的取值范围为 （答：（0,1））；
③换元法；如（1）
y?2sin2x?3cosx?1的值域为__ _（答：[?4,17； ]）8（2）y?2x?1?x?1的值域为_____（答：?3,???）（令x?1?t，t?0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围，此问题实质上是二次函数问题）； ④单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
如求y?x?别为
19(1?x?9)，y?sin2x?，y?22x1?sinxx?2?log3?5?x?的值域分
______， ， （答：(0,8011)、[,9]、?0,???）； 92⑤数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
y及y?2x的取值范围分别为______， x?23322（2）求函数y?(x?2)?(x?8)的值域（答：[?,]、[?5,5]，
33[10,??)）；
如（1）已知点P(x,y)在圆x2?y2?1上，则
⑥基本不等式法
（1）求y?（答：[0,]）
xx?2?11?）的值域 （答：；（2）求的值域 y??,2??1?xx?3?22?12x2?x?1（3）求y?的值域 （答：(??,?3]?[1,??)）
x?1⑦导数法、分离常数法；
如（1）求函数f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值 。（答：－48） （2）用2种方法求下列函数的值域：
3?2xx2?x?3(x?[?1,1])②y?①y?,x?(??,0)；
3?2xx（5）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证；
（6）恒成立问题：①分离参数法②最值法③化为一次或二次方程根的分布问题
a?f(x)恒成立?a?f(x)max；a?f(x)恒成立?a?f(x)min
（7）任意定义在R上函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和；即f(x)?g(x)?h(x)
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)其中g(x)?是偶函数，h(x)?是奇函数
22（8）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、
反证法等）进行逻辑探究。
如（1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是____（答：奇函数）；
（2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；
（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像
cosx?0的解集是_____________（答：如右图所示，那么不等式f(x)?(??,?1)?(0,1)?(,3)）；
22?（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R，都有f()?f(x)?f(y)，
??xy且x?1时，f(x)?0，又f(1)?1，①求证f(x)为减函数；②解不等式2f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1???4,5?）．
18．（1）函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是
y?y0?f?(x0)(x?x0).
（2）导数几何物理意义:k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
/
v?s'(t)表示t时刻即时速度,a?v'(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是s?1?t?t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t?3时的瞬时速度为_____
（答：5米/秒）
19．几种常见函数的导数
(1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4)
(cosx)???sinx.
11ex(5) (lnx)??；(loga)??loga. (6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
xx20．导数的运算法则
（1）(k?f(x))'?k?f'(x)（k为常数） （2）(u?v)'?u'?v' （3）(uv)'?u'v?uv'. （4）()'?uvu'v?uv'(v?0). 2v21．判别f(x0)是极大（小）值的方法：当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 22．导数应用
（1）过某点的切线不一定只有一条;
如：已知函数f(x)?x3?3x，过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线，求此切线的方程
（答：3x?y?0或24x?y?54?0）。
（2）研究单调性步骤:分析
y?f(x)定义域?求导数?解不等式f'(x)?0得增区间（或
f'(x)?0得减区间）
如：设a?0函数f(x)?x3?ax在[1,??)上单调函数，则实数a的取值范围_____（答：0?a?3）；
（3）求极值、最值步骤:求导数;求f?(x)?0的根;检验f?(x)在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.
如：（1）函数y?2x?3x?12x?5在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；
32?15）；
（2）已知f(x)?x?bx?cx?d在[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最 值 （答：大，?3215） 232（3）方程x?6x?9x?10?0的实根的个数为__（答：1）
特别提醒：（1）极值点处的导数值为0，但导数值为0的点不一定是极值点。故不能仅凭判断xf?(x0)?0（2）已知函数的极大(小)?x0是函数的极值点f??x0?＝0是x0为极值点的必要而不充分条件。
值，一定要既考虑f?(x0)?0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
如：函数f?x??x3?ax2?bx?a2在x?1处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）
（4）和导数有关的一个结论：
若?m,n?(a,b)且m?n，有
成立
f(m)?f(n)?c恒成立，则在(a,b)内，f?(x)?c恒
m?n第三节 数列
23．等差数列中an=a1+(n-1)（叠加法）
n(n?1)Sn?na1?d=nan?n(n?1)d=n(a1?an)=n?这n项的平均数（倒序相
222加法）
等比数列中an?a1qn?1（叠乘法）当q=1,Sna1(1?qn)a1?anq=（错?na1； 当q≠1,Sn=
1?q1?q位相减法）
24．常用性质、结论：
（1）等差数列中,an?am?(n?m)d, d?am?an;当m+n=p+q,am+an=ap+aq； m?n等比数列中，an?amqn?m； 当m+n=p+q ，aman?apaq；
如①在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；
②各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9则log3a1?log3a2???log3a10? （答：10）。
特别注意：等比数列中各项都不等于0，公比不为0，各项的符号规律：q项异号
?0各项同号，q?0奇偶
（2）常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差；
1?、{anbn}、?an?等比； {an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、??????bn??bn?{an}等差,则ca(c>0)成等比；{bn}( bn?0)等比,则{logcbn}(c>0且
n??c?1)等差。
Sa（3）等差?an?中：若项数2n，则S偶?S奇?nd，偶?n?1，若项数2n?1，则S奇?S偶?an?1
S奇anS奇S偶?n?1，
S2n?1?(2n?1)an?1
n
（4）等比?an?中：若项数为2n，则
S偶S奇?q；若项数为2n?1，则
S奇?a1S偶?q；
Sn1?qn ?mSm1?q（5）等差{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差；
等比{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比。
如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、?不成等比数列 25．等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d；等比三数可设
a,a,aq； q四个数成等比的错误设法：
aa32,,aq,aq (为什么？公比被限定为q?0) 3qq如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 26．等差、等比数列的判定：
｛an｝等差?an?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*中项) （1）
?an?an?b(一次)?sn?An2?Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B??
?an2?an-1?an?1(n?2,n?N)a（2）｛an}等比???n?q(定);
an?1an?0??an?a1?qn?1?sn?m?m?qn;
注意：①Sn等差
②Sn比
其余项都相同且成等?2?3n?2与Sn?2?3n?5对应的数列{an}除首项不同外，
?n2?2n?5与Sn?n2?2n对应的数列{an}除首项不同外，其余项都相同且成
如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）
27．首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
?an?0?an?0(或),或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最??a?0a?0?n?1?n?1大或最小项吗？
如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和
Sn?0成（答：4006）
立的最大正整数n是