28．求和常法（关键找通项结构）
n
分组法求数列的和：如an=2n+3
n
错位相减法求和：如an=(2n-1)2 裂项法求和：如求和：1?29．求通项常法
2n111） ????? （答：
n?11?21?2?31?2?3???n?S1 (n?1)（1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用公式an??
S?S (n?2)?nn?1如：数列{an}满足
11114,n?1a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?1）
2,n?2222?（2）先猜后证
（3）递推式为an＋1＝an＋f(n) (采用累加法)；an＋1＝an×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?1n?1?n(n?2)，则an=________
（答：an?n?1?2?1）
（4）构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列
如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an （答：an?2?； 3n?1?1）
an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。
kan?1?ban?1如①已知a1?1,an?，求an （答：
3an?1?11an?）；
3n?21②已知数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，求an （答：an?2）
n（5）倒数法形如an?第四节 三角函数
30．终边相同(β=2kπ+α);
弧长公式：l?2?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3
22如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm）
31．函数y=Asin(??x??)?b（??0,A?0）
①五点法作图; ②振幅?相位?初相?周期T=
22?,频率； ?如（1）函数y?sin?函数）；
?5???2x?的奇偶性是______ （答：偶?2?3)?______ （2）已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5（答：－5）；
（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是________、_______
（答：(（4）已知f(x?)k??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）； 2828（答：c?o?s(为x偶函)数，求?的值。
sin?(?x?3)??k???6(k?Z)）
③变换:A,?,?,b中的每一个系数的变化只影响一种变换，每一个变换也只改变一个系数
32．正弦定理:2R=
2abc
==; 内切圆半径r=2S?ABC sinAsinBsinCa?b?c22b2?c2?a2S?1absinC?1bcsinA?1casinB余弦定理：a=b+c-2bccosA,cosA?;
2222bc术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°
注意：在△ABC
中：
a?b?A?B?sinA?sinB；
sin(B?C)?sinA，
cos(B?C)??cosA，cos成等差数列，当且仅当BB?CA?sin22，sinB?CA?cos22等，三角形三内角A、B、C
??3.
33．同角关系：如：若
（?sin??3cos?tan?2＝ _；sin??sin?cos??2＝_ _??1，则
sin??cos?tan??1513；） 351?cos2?1?cos2?nis；cos2??．；
2234．诱导公式简记：奇变偶不变，符号看象限（?看作第一象限） 35．重要公式：sin2??x?cosx,nisx?cosx,nisxcosx这三者之间的关系要能熟练地掌握：nis(确的取舍.
cosx)?1n2xiscos2??xx.求值时能根据角的范围进行正
如：已知??(0,?),且sin??cos???1，则tan??＿＿＿＿＿. 5124?0，又由??(0,?)知分析：由sin??cos???平方得2sin?cos???525?49??(,?).则有sin??0,co?s?0.(sin??cos?)2?1?2sin?cos??，得
225
sin??cos??7343.有sin??,cos???，所以tan???. 5554如：f(x)?5sinxcosx?53cos2x?53(x?R)的增区间为_____（答：
2?5?[k??,k??](k?Z)）
1212?(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)等
32?1?如：已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答：）；
225444b2236．辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?a?bsin?x???(其中tan??)
a3如：（1）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?)；
2（2）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－2)；
37．正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距
离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.
巧变角：如?第五节 平面向量
38．①向量加法几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，
1??(AB?AC)表示△ABC的边BC的中线向量. 2②向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则（终点连结而成的向量，指向被减向量） ③|AB|表示A、B两点间的距离；
????????④以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a+b、a?b（或b?a）.
［例］已知非零向量a,b满足：|a?b|?|a?b|，则向量a,b的关系是――――（ ） A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.
分析：①|a?b|与|a?b|表示以a和b为一组邻边的平行四边形的两对角线的长，而对角线相等的平行四边形是矩形，从而有a?b.选B. 或②|a?b|?|a?b|?(a?b)2?(a?b)2，化简得：
a?b?0，有a?b.
39．单位向量、平行向量、垂直向量的意义、 与非零向量a同向的单位向量a0?a|a|，反向的单位向
????a量a0???.
|a|
［举例］已知△ABC，点P满足AP??(AB|AB|?AC|AC|),(??R)则点P的轨迹是（ ）
A、BC边上的高所在直线； B、BC边上的中线所在直线； C、?A平分线所在直线； D、BC边上中垂线所在直线. （选C）
????40.看两向量的夹角时必须先将其共起点后再看，两向量数量积a?b?|a||b|cos?；
??其中|b|cos?为向量b在向量a上的投影，投影是一个实数可以是正数，负数，也可以是0
?向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝a?ba
A ［例］已知△ABC是等腰直角三角形，?C＝90°，AC＝BC＝2，则AB?BC＝＿＿；
C B
????????????????3?2分析： AB?BC?|AB|?|BC|cos?22?2?(?)??4.
4241.向量运算中特别注意a2?|a|2的应用. （计算模常常先转化为模平方再进行向量运算）
，求|CD|.
???????????［例］已知|a|?2,|b|?1，且a,b的夹角为，又OC??a?bO3D,?a2b?4分析：CD?OD?OC?(2a?b)?(?a?3b)?3a?4b，则|CD|?|3a?4b|，由题知
??????2?2???2a?b?1，所以|CD|?(3a?4b)?9a?24a?b?16b?10. 注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成. 特别提醒：向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，即
a(b?c)?(a?b)c，切记两向量不能相除。
42.向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.
??????已知a?(x1,y1),b?(x2,y2)则a?b?(x1?x2,y1?y2),a?b?x1?x2?y1?y2. ????若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)
????注意：a?(x,y)实质上是其分解形式a?x?i?y?j的“简记”.
与向量坐标运算有关最重要的两个结论： 若
向
量
??a?(x1,y1),b?(x2,y2)则
a?b?x1?x2?y1?y2?0；
a//b?x1?y2?x2?y1?0.
????????????????????［例］设O是坐标原点，OA?2i?3j,OB?4i?j，在x轴上求一点P，使AP?BP最小，
并求此时cos?APB的大小.
??????分析：设P(x,0)，则AP?x(?2,?3),BP(?x4?1,),则AP?BP?(x?2)(x?4)?3=
x2?6x?5?(x?3)2?4，所以当x?3时，AP?BP的最小值为?4.此时
????????AP?(1,?3)，BP?(?1,1)，AP,BP所夹角等于?APBcos?APB?AP?BP|AP||BP|??25. 5，所以
x1x2?y1y2
|a||b|x12?y12x22?y2243.利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,?].
????特别注意：当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充
夹角公式：cosθ=a?b?分条件；
????当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充
分条件
［例］已知△ABC，则“AB?AC?0”是“△ABC为钝角三角形”的――――（ ） A、充分不必要条件； B、必要不充分条件； C、充分必要条件； D、既不充分又不必
要条件.
分析：对于△ABC，由AB?AC?0可知?A是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A.
［例］（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范
围是______（答：???????????41或??0且??）； 33?44．平面向量基本定理：e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一)
????????????特别：OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件
如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足
OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是____
（答：直线AB）
45．向量表达式常有几何意义：如在?ABC中，
??????????????????????????????????????1①PG?(PA?PB?PC)?G为的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为的重心； 3????????????????????????②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； ③向量?(???|AB||AC|????????④NP?2NQ表示N,P,Q三点共线且Q为NP的中点