（5）倒数法
d?n?1d?∴an??a1??c??c?1?c?1 例如：a1?1，an?1?2an，求anan?2 a?2111由已知得：?n??an?12an2an
111∴??an?1an2
?1?11???为等差数列，?1，公差为a12 ?an?
111??1??n?1?·??n?1?an22
2∴an?n?1
n 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：?an?是公差为d的等差数列，求?由1k?1akak?1
解：
n111?11???????d?0?ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?
n11?11?∴??????aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?
?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?
（2）错位相减法：
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?
234n?1?nxn x·Sn?x?2x?3x?4x?????n?1?x
?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn
?2?
x?1时，Sn
1?x?nx???nn?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2????an?1?an???相加S?an?an?1????a2?a1?? n
2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an???
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
n?n?1???Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?r???等差问题2??
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足
p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x
?1??1?r?n??1?r?n?1?x???x1?1?rr??????
n∴x?pr?1?r?
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
?1?r?n?1
（1）分类计数原理：N?m1?m2????mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2??mn
（mi为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.
n!Am?nn?1n?2??n?m?1????????m?n?nn?m!??
规定：0!?1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.
n?n?1????n?m?1?Amn!nC?m??m!m!?n?m?! Ammn规定：C0n?1
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
（4）组合数性质：
n?mm?101nnCm，Cm?Cmn?Cnn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2
xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4， 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：
??
（1）中间两个分数不相等，
4
有C5?5（种） （2）中间两个分数相等
x1?x2?x3?x4
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理
n1n?1n?22n?rrn(a?b)n?C0b?C2b???Crb???Cnna?Cnanananb n?rr二项展开式的通项公式：Tr?1?Crab(r?0，1??n) n
性质：
Crn为二项式系数（区别于该项的系数）
n?r（1）对称性：Crr?0，1，2，??，nn?Cn??
1nn（2）系数和：C0n?Cn???Cn?2 35024n?1C1n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式??1?项，二项式系数为Cn?2? n?1n?1系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为Cn2?Cn22211如：在二项式?x?1?的展开式中，系数最小的项系数为n?1n?1n
表示）
（用数字
（∵n＝11
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第12?6或第7项2
r由C11x11?r(?1)r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小： 又如：?1?2x?200465?C11??C11??426
?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004??（令x?0，得：a0?1
令x?1，得：a0?a2????a2004?1
?a0?a1x?a2x2????a2004x2004?x?R?，则
（用数字作答）
001
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
∴原式?2003a?a?a????a2004?2003?1?1?2004）??
（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0
（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。
A B
（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。
（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·B??
（6）对立事件（互逆事件）：
“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A
A?A??，A?A??
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
P(A)?
A包含的等可能结果m?一次试验的等可能结果的总数n
（2）若A、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·B?P?A?·P?B???
（4）P(A)?1?P(A)
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；
kk次的概率：Pn(k)?Cknp?1?p?n?k
（2）从中任取5件恰有2件次品；
3?C210?4C6?P2?5??21?C10??C22?4P???1?215? C10?
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213∴m?C23·46?4
（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）
523∴n?A10，m?C24A5A6
23C2443·4·6?4∴P3??125 103
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmax （2）决定组距和组数； （3）决定分点；
（4）列频率分布表； （5）画频率直方图。
23C2104A5A6∴P4??521 A10??xmin?；
其中，频率?小长方形的面积?组距×
频率组距
样本平均值：x?
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
42C10C5（）6C15
1x1?x2????xnn 1222样本方差：S2??x1?x???x2?x??????xn?x?n????
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。