（2）向量的模——有向线段的长度，|a|
??（3）单位向量|a0|?1，a0?
??a|a|
（4）零向量0，|0|?0
???
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b （7）向量的加、减法如图：
??????长度相等??（5）相等的向量??a?b?方向相同
??a
?
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
????OA?OB?OC ???OA?OB?BA
?
e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一
??????的一组基底。
（9）向量的坐标表示
实数对?1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量
?
i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
??表示。
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a??x，y?，即为向量的坐标
????设a??x1，y1?，b??x2，y2?
则a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2? ?a???x1，y1????x1，?y1?
?????
若A?x1，y1?，B?x2，y2?
?则AB??x2?x1，y2?y1?
?22|AB|?x?x?y?y，A、B两点间距离公式 ????2121
57. 平面向量的数量积
??
（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。
?????为向量a与b的夹角，???0，??
B ???b O ? 数量积的几何意义： a·b等于|a|与b在a （2）数量积的运算法则
??????a
D A 的方向上的射影|b|cos?的乘积。
①a·b?b·a
????②(a?b)c?a·c?b·c
???????③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2
????????注意：数量积不满足合结律(a·b)·c?a·(b·c)
（3）重要性质：设a??x1，y1?，b??x2，y2?
①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|
????????????????
?2?a??b（b?0，?惟一确定）
?x1y2?x2y1?0
?22121??????????
③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|
④cos??a·b|a|·|b|??x1x2?y1y2222x1?y1·x22?y2
［练习］
???????（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则
??|a?b?c|? 答案：2
答案：2
2
??（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，当x???时a与b共线且方向相同o????
（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?
答案：13
58. 线段的定比分点
设P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分点P?x，y?，设P1、P2是直线l上两点，P点在
??l上且不同于P1、P2，若存在一实数?，使P1P??PP2，则?叫做P分有向线段 ?P1P2所成的比（??0，P在线段P1P2内，??0，P在P1P2外），且
x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P为P1P2中点时，???y?y1??y2?y?y1?y2??1??2 ? ?如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3?
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
y?y2?y3??x?x2?x3则?ABC重心G的坐标是?1，1??? 33线∥线???线∥面???面∥面判定性质????线⊥线???线⊥面???面⊥面????
线面平行的判定：
线∥线???线⊥面???面∥面
a∥b，b?面?，a???a∥面?
a b ?? ?b?a∥b
线面平行的性质：
?∥面?，??面?，??? 三垂线定理（及逆定理）：
PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则
a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
线面垂直：
P ??O a
a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?
a O α b c 面面垂直：
a⊥面?，a?面???⊥?
面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?
α a l β
a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?
a b ??
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
?＝0o时，b∥?或b??
（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180o
o
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证明：cos??cos?·cos?
A θ O β B ????????????????????????C? D α
（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。