?2?线变形速率?xx??u??x角变形速率?yy2xy?x2?y2?2,?yy??v?2xy??yx2?y2???21??v?u?1?y2?x2y2?x2?y2?x2????????22???22222222??x?y?2?x?yx?yx?y???
???
???3?线变形速率?xx??u?0,?yy??v?0?x?y角变形速率?xy?3-11解：线变形速率
1??v?u?1?????2?2??2??2??x?y?2?xx??u?v?2xy?2?1?2?4,?yy???2?1?2??4 ?x?y角变形速率
2222?????xy????2x?y?x?2y?2?1?2?1?2?2??
??2??x?y?2221??v?u?113涡量
?z??v?u??2x?y2?x2?2y?2?1?22?12?2?2??7 ?x?y????3-12 解：
?w?v????x?y??z?0?0?0??u?w?1????0?0?0,无旋流 ??y??z?x??v?u????z?x??y?k?k?0???x??y?0?2??,无旋流
??z?0?0?0??x??y?0?3??,无旋流 y2?x2y2?x2???0??z?222222x?yx?y???????x??y?0?4??,有旋流
??z?0??????5??x??y??z?6??x??y??z?0,无旋流 ?0,无旋流
?kx???x??y?0u?22?x?y??7??得?,无旋流 ?v?u?2xyk?2xyk???????0?v?ky?z?x?y222222x?yx?y22??x?y??????ky???x??y?0u?22?x?y?? ?8??得??v?uky2?x2ky2?x2??0,无旋流?v?kx??z??x??y?222222x?yx?y?x2?y2??????????（9）和（10）不满足连续方程，不代表流场
3-13 解：任意半径r的圆周是一条封闭流线，该流线上
线速度u?=
0r,速度环量
??2?ru??2??0r2
(2)半径r+dr的圆周封闭流线的速度环量为
??d??2??0?r?dr?得
2
d?????d?????2??0?r?dr??2??0r2?4??0rdr?2??0dr2
2忽略高阶项2
0dr
2
，得 d
d??4??0rdr
（3）设涡量为布，得
，它在半径r和r+dr两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d。因为在圆环域上可看作均匀分
?zdA?d?
将圆环域的面积dA=2rdr代入该式，得
?z2?rdr?d??4??0rdr
可解出=2+dr/r。忽略无穷小量dr/r，最后的涡量
?z?2?0
3-14 解：由ur和u?=Cr,得
u??Cy,v?Cx,?u?u?v?v?0,??C,?C,?0 ?x?y?x?y依据式（3-5a）和（3-5b）,有
?u?u?v??y.0?Cx??C???C2x?x?y
?v?vay?u?v??Cy.C?Cx.0??C2y?x?yax?u可见，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u2?/r,a?=0。显然，ar代表向心加速度。
（2）由ur=0和u?=C/r,得
CyCx?u2Cxy?uCy2?x2u??2,v?2,?4,??yrr?xrr4?vCx2?y2?v2Cxy?,?4?x?yr4rax?u?????u?uCx2CxyCxCy?x?v??2?2?x?yrr4rr4?22???C2x
?v?vCyCx2?y2Cx2CxyC2yay?u?v??2?2?444?x?yrrrrr可见，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u?/r,a?=0。显然，ar代表向心加速度。
2??r43-15 解：当矩形abcd绕过O点的z向轴逆时针旋转变形。故有
时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有
ud?u??zdy,vd?v??zdx
其中，称是z向角速率。据题意，=/4rad/s.
（2）因为矩形abdc的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab边和ac边绕过O点的Z轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。根据亥姆霍兹分解式（3-36），有
ud?u??xydy,vd?v??yxdx
其中，角变形速率
?xy??yx?1d??d???rad/s
2dt83-16 解：（1）由已知流速u=y和v=0，得=0,=。依据式(3-33),角变形速率
1??v?u?1?? ???xy??yx????0?????2??x?y?22依据式（3-32），得角速率
1??v?u?1?????z????0?????2?2??x?y?2
（2）t=0时刻的矩形，在时段dt内对角线顺时针转动的角度为
?1???zdt??2dt
在t=0.125和t=0.25时刻，转角为=和=因为==0，故没有线变形。矩形各边相对于对角线
所转动的角度为
?2??xydt??2dt
在t=0.125和t=0.25时刻，=dt=和=。因为对角线顺时针转动了，，故矩形沿
y向的两条边得顺时针角为，，而与x轴平行的两条边转角为0.
依据u=y知，当时流速u之差值为，在dt=0.125和dt=0.25时段，位移差值为，.这验证了
与y轴平行的两条边的顺时针转角。
第四章
4-1 社固定平行平板间液体的断面流速分布为
uumax?B2?y????B2??,y?0 总流的动能修正系数为何
??17值？
解 将下面两式
?2?y?11B7V??AudA??2Bumax?B?dy?umaxAB?28?2?B17
?AudA??A?3?3??B22?BU3max?2?y?dy?Bu3Bmax???2?B37
y u(y) 代入到动能修正系数的算式
1Av7103?udA?3B
oumax x 得
3??BumaxB???umax?78?1.045
4-2 如图示一股流自狭长的缝中水平射出，其厚度
?0?0.03m，平均流速V0?8ms ，假设此射流受中
（2）该处的水股厚度? 。 ??450 处的平均流速V；速
为
V0
，
故
射
流
平
均
流
速
为
平
分
立作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求（1）在倾斜角 解
⑴
在
θ
＝
45
°
处
，
水
8v??m/s?11.31m/s
cos45?cos45?⑵由连续性条件，在
voθ?45°处的单宽流量与喷口处相等，
即
vδ?vδo故
v8δ?oδo??0.33m?0.021m
v11.314-3 如图所示管路，出口接一管嘴，水流射入大气的速度
Vo δo δ 45° V2?20ms，管径d1?0.1m,管嘴出口直径d2 ?0.05m,压力表断面至出口断面高差H=5m,两断面间的水头损失为0.5?V122g? 。试求此时压力表
的读数。
? 解 由总流连续性条件
4d12V22?2?4d22V22 ，得
2?d2V1???d?1根据总流伯诺里方程
??0.05??V???0.1???20m/s?5m/s ?2???p1α1V12p2α2V22?z1???z2??hw
gρ2ggρ2g