本题难度为0.49
【试题11】(由2008年理工类第7题改编)过直线y?x上的一点作圆(x?5)2?(y?1)2?2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y?x对称时，它们之所成的锐角的大小为
A.30? B.45? C.60? D.75? l2 y l l1 【答案】C P A 【说明】本题主要考查直线和圆的方程等基础知识，考查空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.设l1、l2交点为P，圆心为Q，切点分别为A、B，则PQ?直线l，B Q O |5?1|其中l：y?x，如图所示.点Q(5,1)到l的距离|PQ|??22，半径|QA|?2，在2Rt?APQ中sin?APQ?|QA|1?，故?APQ?30?，?APB?2?APQ?60?. |PQ|2x 【试题12】(2006年理工类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1、x2、x3分
?、CA?的机动车辆数（假设：单位时间内，别表示该时段单位时间通过路段?AB、BC在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 A.x1?x2?x3 B.x1?x3?x2 C.x2?x3?x1 D.x3?x2?x1
x1 20 B30 5055A x3 35 【答案】C
【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.
x2 C 30 ?x1?20?30?x2依题意，可有??x2?35?30?x3，于是可得x2?x3?x1.
?x?55?50?x1?3本题难度为0.67
【试题13】(2009年文史类第8题)设D是正?PP12P3及其内部的点构成的集合，点P0是?PP12P3的中心，若集合S?{P|P?D,|PP0|?|PPi|,i?1,2,3}，则集合S表示的平面区域是 P1 A．三角形区域 B．四边形区域 M N C．五边形区域 D．六边形区域
P 【答案】D P2 P3
【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方
法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力. 如图，作线段P0P1的中垂线MN，则在直线MN的下方(包括线上)的点满足|PP0|?|PP1|.同样，作P0P2、P0P3的中垂线，得到集合S表示的平面区域是如图的六边形区域. 本题难度为0.32
二、填空题：把答案填在题中横线上.
【试题14】(2004年理工类第9题)函数f(x)?cos2x?23sinxcosx的最小正周期是 【答案】?
【说明】本题主要考查三角函数的和角公式、二倍角公式以及三角函数周期的概念. 由于f(x)?cos2x?23sinxcosx?2cos(2x?)，所以最小正周期是?.
3?本题难度为0.94
【试题15】(2012年理工类第13题) 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?CB的值为________，DE?DC的最大值为______. 【答案】1，1
????????【说明】本题主要考查平面向量的概念和运算.记DE与DA的夹角为θ.则
?????????????????????????????????????DE·CB=|DE|?1?cos??|DA|?1,DE·DC=|DE|?1?cos(??)?|DE|?sin??|AE|?1,
2?????????当??，即E与B重合时，DE·DC达到最大值1.
4????????????????????????本题也可以运用向量的几何意义来考虑，由于DE·CB为向量DE在单位向量CB方向上的投影，DE·DC????????????????????????CB=1，DE·DC的最大值为1. 为向量DE在单位向量DC方向上的投影.因此，DE·
本题难度为0.75
【试题16】(2004年理工类第14题)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.
已知数列{an}是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为
?5n??2【答案】3，Sn???5n?1?2?2n为偶数时
n为奇数时【说明】本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、
情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.
只要能够理解“等和数列”的概念，即可依题意得出已知的等和数列为2，3，2，3，2，3，?，于是可得答案.
y 本题难度为0.72
4 A ?x?y?4B 【试题17】(2006年理工类第13题)已知点P(x,y)的坐标满足条件??y…x ，点O为
?x…1 O C 4 x ?1 坐标原点，那么|PO|的最小值等于 ,最大值等于 .
【答案】2 10 【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的?ABC及其内部，A(1,3)、B(2,2)、C(1,1)，分别求|OA|、|OB|、|OC|，并比较大小可得结论. 本题难度为0.78
【试题18】(2008年理工类第14题)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：
k?1k?2?xk?xk?1?1?5[T()?T()]??55第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处，其中x1?1，y1?1，当k…2时，?，T(a)表示非
k?1k?2?y?y?T()?T()kk?1?55?负实数a的整数部分，例如T(2.6)?2，T(0.2)?0.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为
【答案】(1,2)，(3,402)
【说明】本题命题意图是渗透新课标理念，主要考查试验观察、自主探究、实践应用和阅读自学能力，考查由特殊到一般，归纳，类比等逻辑思维方法.
3 y x
2 1 O 1 2 3 4 5 k?1k?2?xk?xk?1?1?5[T()?T()]??55由?(k…2)，且x1?1，得x2?2，x3?3，x4?4，x5?5，x6?1.
k?1k?2?y?y?T()?T()kk?1?55?又因为y1?1，得y2?1，y3?1，y4?1，y5?1，y6?2.
因此第6棵树种植点的坐标为(1,2).
根据前6棵树种植点的坐标及递推关系，如图，可推测每行5个种植点，且第i行的纵坐标都是i(i?1,2,3,?). 由于2008?5?401?3，因此第2008棵树种植在第402行的第3个位置，所以第2008棵树种植点的坐标应为(3,402). 本题难度为0.41
【试题19】(2010年理工类第14题)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的轨迹方程是y?f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；
y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.
【答案】4，??1
【说明】本题主要考查了函数的周期、图象、零点和点的轨迹以及图形的面积等内容，考查学生的阅读能力、观察分析能力、图形直观能力等数学素质和学习潜能，考查学生对周期的本质理解的水平等.
由题意可以画出函数f(x)在一个周期内的图象，由图象可知，f(x)的最小正周期为4.
y?f(x)在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的面积是S??2??42?（2）+1=?+1.
本题难度为0.23
【试题20】(2010年理工类第12题) 如图，?O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ .
【答案】5，27 【说明】本题主要考查选修部分4-1的基础内容.即注意考查圆内接四边形的相关知识、圆与直线的基础知识、基本定理，考查运用数形结合的思想方法分析问题、解决问题的能力.
由割线定理得AB·AC=AD·AE,所以AE=8，因此DE=5.因为BD⊥AE,又C,B,D,E在?O上，所以∠BCE=90°.在Rt△ACE中，得AC=6，AE=8.故CE=EODABCAE2?AC2?27. 本题难度为0.86
【试题21】(2013年理工类第9题) 在极坐标系中，点(2，
?)到直线ρsinθ=2的距离等于 . 6【答案】1 【说明】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,以及直角坐标系中点到直线的距离.直线?sin?=2的直角坐标形式为y?2.点(2,?2（3,1）.所以点到直线的距离为其纵坐标之差，等于1. )的直角坐标为
本题难度为0.87
三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
【试题22】(2009年理工类第15题)
【答案】（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B?∴C??4,cosA?， 352?3?A,sinA?， 35313?43?2???A??cosA?sinA?. 32210??∴sinC?sin? （Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA? 又∵B?33?43,sinC?， 510w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?3,b?3，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a?bsinA6?. sinB5∴△ABC的面积S?1163?4336?93absinC???3??. 2251050
【说明】本题主要考查利用三角知识解三角形和基本的运算能力．考查了三角函数中的同角三角函数的平方关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、正弦定理及三角形的面积公式. 本题难度为0.83
【试题23】(2010年理工类第16题)
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
EF（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小.
【答案】证明：（I） 设AC与BD交与点G。
CDAB1 因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.
2 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG，
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE?AC，
所以CE?平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.
????????????22 所以CF?(,,1)，BE?(0,?2,1)，DE?(?2,0,1).
22????????????????BE?0?1?1?0,CF?DE??1?0?1?0 所以CF? 所以CF?BE,CF?DE. 所以CF?BDE.
????22(III) 由（II）知，CF?(,,1)是平面BDE的一个法向量.
22????????设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则n?BA?0，n?BE?0.
即??(x,y,z)?(2,0,0)?0 所以x?0,且z?2y, 令y?1,则z?2.所以n?(0,1,2).
(x,y,z)?(0,?2,1)?0?????????n?CF3?????从而cos?n,CF??。 因为二面角A?BE?D为锐角，
2|n||CF|所以二面角A?BE?D的大小为
?. 6
【说明】本题主要考查立体几何的主干知识，平行、垂直、角与距离.考试空间想象能力、思维能力与运算能力，考查利用空间向量求二面角大小的方法. 本题难度为0.83
【试题24】(2012年理工类第17题) 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 30 100 240 100 30 60 20 20 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；