（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a＞0，a?b?c=600。当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。 （注：s2?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，其中x为数据x1,x2,?,xn的平均数） n【答案】解：（?）厨余垃圾投放正确的概率为?
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002==?
厨余垃圾总量400+100+1003（??）设生活垃圾投放错误为事件?，则事件A表示生活垃圾投放正确.
事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里科回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为所以P(A)约为1－0.7=0?3 ．?
（???）当a?600,b?c?0时，s取得最大值．?因为x?2400?240?60?0.7,
100011(a?b?c)?200，所以s2?[(600?200)2?(0?200)2?(0?200)2]=80000．?33
【说明】本题考查的是概率统计的相关知识，要求考生能正确理解分类的含义，会判断总体，能理解方差刻画的是数据的离散程度，反映的是数据分布的一种规律，如果方差越大，就表明分布越离散，如果方差越小，就说明数据分布越集中. 本题难度为0.66
【试题25】(2010年理工类第17题) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀5成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 b 3 p 6 125a 24 125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p，q的值； (Ⅲ)求数学期望Eξ.
【答案】解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知P(A1)?4，P(A2)?p，5P(A3)?q.
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“??0”是对立的，所以该生至少有1门课程
6119， ?12512516（II）由题意知P(??0)?P(A1A2A3)?(1?p)(1?q)?
51254246 P(??3)?P(A, 整理得 ，p?q?1 AA)?pq?pq?123512512532由p?q，可得p?，q?.
55取得优秀成绩的概率是1?P(??0)?1?（III）由题意知a?P(??1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
41137 (1?p)(1?q)?p(1?q)?(1?p)q?55512558 b?P (??2)?1?P?(?0)?P?(?1)?P?(=?1259 E??0?P(??0)?1?=P?(?1)?P2?(?2?)P?3(?．
5 =
【说明】本题主要考查对立事件的概率计算方法、离散型随机变量的分布列的意义，并与多个独立事件的概率联系、数学期望计算.
本题逆向设问，一般情况下给出多个独立事件的概率，来求一个离散型随机变量的分布列.本题相反，已知离散型随机变量的分布列，理解这个分布列中各个概率的含义，然后与基本独立事件之间建立联系. 本题难度为0.79
【试题26】(2013年理工类第18题) 设L为曲线C：y?(I)求L的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方. 【答案】解: （I）设f(x)?lnx在点(1，0)处的切线. xlnx1?lnx，则f?(x)?.所以f?(1)?1.所以L的方程为y?x?1. 2xx(II)令g(x)?x?1?f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)?0(?x?0,x?1).
x2?1?lnx. g(x)满足g(1)?0，且g?(x)?1?f?(x)?x2当0?x?1时，x?1?0，lnx?0，所以g?(x)?0，故g(x)单调递减； 当x?1时，x?1?0，lnx?0，所以g?(x)?0，故g(x)单调递增. 所以，g(x)?g(1)?0（x?0,x?1）.
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.
【说明】本题主要考查了对数函数与分式函数的导数，，考查了导数的几何意义和求函数最值的方法.本题题干简洁，设问大气、明了，能够充分考查学生分析问题、解析问题的能力，考查转化与化归的思想方法.
本题难度为0.52
22
【试题27】(2010年理工类第19题) 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y)， 由题意得
221. 3y?1y?11??? x?1x?1322 化简得 x?3y?4(x??1). 故动点P的轨迹方程为x?3y?4(x??1) （II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?y0?1y?1(x?1)，直线BP的方程为y?1?0(x?1) x0?1x0?1令x?3得yM?4y0?x0?32y0?x0?3，yN?.
x0?1x0?1|x0?y0|(?3x02)1?yN|(?30x?)于是?PMN得面积 S?PMN?|yM 22|x0?1|又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22，点P到直线AB的距离d?|x0?y0|2.
于是?PAB的面积 S?PAB?当S?PAB1|AB|?d?|x0?y0| 2|x0?y0|(3?x0)2?S?PMN时，得|x0?y0|?
|x02?1|22又|x0?y0|?0，所以(3?x0)=|x0?1|，解得|x0?因为x0?3y0?4，所以y0??225。 333 9故存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?5333). 9解法二：若存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)
则
11|PA|?|PB|sin?APB?|PM|?|PN|sin?MPN. 22|x?1||3?x0||PA||PN|， 所以0 ??|3?x0||x?1||PM||PB|因为sin?APB?sin?MPN, 所以
即 (3?x0)?|x0?1|，解得x0?因为x0?3y0?4，所以y0??22225 333 9故存在点PS使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?5333). 9
【说明】本题主要考查解析几何的基本思想方法，考查曲线与方程以及直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率、三角形的面积等内容.考查学生分析及解决问题的能力，突出考查了“数”与“形”的转化能力，考查学生的推理论证能力和抽象概括能力，考查数形结合、方程等思想方法. 本题难度为0.30
【试题28】(2013年理工类第20题) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an?1，an?2,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn 。
(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an?4?an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； (III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
【答案】（I）d1?d2?1,d3?d4?3.
(II)(充分性)因为?an?是公差为d的等差数列，且d?0，所以a1?a2???an??. 因此An?an，Bn?an?1,dn?an?an?1??d(n?1,2,3,?). (必要性)因为dn??d?0(n?1,2,3,?)，所以An?Bn?dn?Bn. 又因为an?An，an?1?Bn,所以an?an?1. 于是An?an，Bn?an?1. 因此an?1?an?Bn?An??dn?d，即?an?是公差为d的等差数列.
(III)因为a1?2,d1?1，所以A1?a1?2，B1?A1?d1?1.故对任意n?1,an?B1?1. 假设?an?(n?2)中存在大于2的项.
设m为满足an?2的最小正整数，则m?2，并且对任意1?k?m,ak?2，.
又因为a1?2，所以Am?1?2，且Am?am?2.
于是Bm?Am?dm?2?1?1，Bm?1?min?am,Bm??2. 故dm?1?Am?1?Bm?1?2?2?0,与dm?1?1矛盾.
所以对于任意n?1，有an?2，即非负整数列?an?的各项只能为1或2. 因此对任意n?1，an?2?a1，所以An?2. 故Bn?An?dn?2?1?1.
因此对于任意正整数n，存在m满足m?n，且am?1，即数列?an?有无穷多项为.
【说明】本题主要依托数列的形式考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、推理论证能力，以及面对新的情境创造性解决问题的能力. 本题难度为0.22