点评： 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21．设函数f（x）=x﹣mlnx，h（x）=x﹣x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；压轴题．
分析： （1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x﹣mlnx≥x﹣x，转化为即：m≤
在（1，+∞）上恒成立，从而得出实数m的取值范围．
2
2
2
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（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，由图得实数a的取值范围． （3）先假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x﹣mlnx在x=处取得极小值即可． 解答： 解：（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立， 即：x﹣mlnx≥x﹣x， mlnx≤x，即：m≤因为
在（1，+∞）上恒成立，
2
2
2
在（1，+∞）上的最小值为：e，
∴m≤e．
实数m的取值范围：m≤e
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点， 即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，
设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象， 由图得：
实数a的取值范围（2﹣2ln2，3﹣2ln3]；
（3）假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性， 由图可知，只须函数f（x）=x﹣mlnx在x=处取得极小值即可． ∵f（x）=x﹣mlnx
∴f′（x）=2x﹣m×，将x=代入得： 1﹣2m=0， ∴m=
故存在实数m=，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．
2
2
点评： 数形结合思想是解析函数图象交点个数、函数零点个数中最常用的方法，即画出满足条件的图象，然后根据图象直观的分析出答案，但数形结合的前提是熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质．
四、选修4-1，几何证明选讲
22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上F．
（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
上的点（不与点A、C重合），延长BD至
，求△ABC外接圆的面积．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 选作题；推理和证明．
分析： （1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+
r=2+
，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．
解答： （1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC． 又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF， 即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC， 由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°， 设圆半径为r，则r+
r=2+
，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）
点评： 本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．
五、选修4-4：坐标系与参数方程 23．直角坐标系下，曲线C的参数方程为（1）在横坐标系下，曲线C与射线θ=面积；
（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为
（t为参数），求曲线C与直线l（φ为参数）．
和射线θ=﹣
分别交于A，B两点，求△AOB的
的交点坐标．
考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： （1）首先把直角坐标方程转化为极坐标方程，进一步利用直线的方程求出|OA|和|OB|的长，最后求出三角形的面积．
（2）利用直线和曲线的关系建立方程组，直接利用参数求出交点的坐标． 解答： 解：（1）曲线C在直角坐标系下的普通方程为：
，
转化为极坐标方程为：分别代入得：因为
和
， ，
，故△AOB的面积：
，
．
，
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得：
即t=2
，代入l的参数方程，得：，y=2，
所以曲线C与直线l的交点坐标为．
点评： 本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，三角形面积的应用，利用代入法求直线与曲线的关系，求交点的坐标．主要考查学生的应用能力．
六、选修4-5：不等式选讲 24．（C）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．
考点： 带绝对值的函数． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）利用绝对值的几何意义直接求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）求出函数的最小值，然后求解关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，得到实数m的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即|2x+3|+|2x﹣1|≤6．
不等式的几何意义，是数轴是的点2x，到﹣3与1的距离之和不大于6， ∴﹣4≤2x≤2，解得﹣2≤x≤1， 不等式的解集为{x|﹣2≤x≤1}；
（Ⅱ）函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． 由绝对值的几何意义可知：f（x）min≥4， 关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空， 只须：4＜|m﹣1|，解得m＜﹣3或m＞5．
点评： 本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．