∴当b＝
112时，S的最大值＝
334334。
综上所述：S的最大值为。
(3)当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。
当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
①当点M、N分别在AB、OC边上时． 如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．
∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°。 ∵OF垂直平分MN．
∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。
∵FB＝1，FC＝3－1＝2。 ∴tan∠1＝
∴GN＝
13FCOC?26?13，tan∠2＝
GNGM＝tan∠1＝
13。
GM＝1。
设N(n，0)，则G(n－1，0)，∴M(n－1，3)。 ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM。 在Rt△AOM中，OM2?OA2?AM2，
∴n?3??n?1?，解得n＝5。∴ M(4，3)，N(5，0)。
222把M(4，3)，N(5，0)分别代入y?ax?by?3，得
3?a????16a?4b?3?5，解得?。
?25a?5b?3?b?12?5?35x?22?3??0∴抛物线的解析式为y??125x?3。
②当点M、N分别在AB、BC边上时．如图④，连接MF．
∵OF垂直平分MN，
∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN。 又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。 ∴∠1＝∠2。
∵BF＝1， ∴FC＝2。
∴tan∠1＝tan∠2＝
FCOC?26?=1313。
在Rt△MBN，tan∠1＝
MBBN，∴BN＝3MB。
3?n32设N(6，n)．则FN＝2－n，BN＝3一n。∴MF＝2－n，MB＝?1?13n。
在Rt△MBF中，∵MF?MB?FB，∴?2?n?解得：n1?∴AM＝6－把M(5143434，n2?3 (不合题意舍去)，∴BM?=51422221??2??1?n??1。
3??34。
＝，∴ M(53414，3)，N(6，
34) 。
，3)，N(6，)分别代人y?ax2?by?3，得
2?121??21?a??3?a?b?3??????24?4?，解得 。 ??21?3?b??36a?6b?3??8??4∴抛物线的解析式为y??12x?2218x?3。 x?2综上所述，抛物线的解析式为y??35125x?3或y??12x?2218x?3。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。
【分析】（1）将点A的坐标代入y?ax?bx?c即可求得c的值。
（2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。
（3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。
6（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在 x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物 线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
2
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1） 中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求 点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）B（3，0），C（0，3）。 ∵A（—1，0）B（3，0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为y=a?x+1??x?3??a?0? 。
又∵C（0，3）在抛物线上，∴3=a?0+1??0?3?，解得a=?∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 y=?（2）①当△OCE∽△OBC时，则
OCOB?OEOC3333。
33x+2?x+1??x?3?即y=?233x+3。
。
33x?13 ∵OC=3， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴ ∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
?。∴x=2。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。 ∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
23 ∴点C与点M关于抛物线的对称轴x=?b2a=?3?3?2????3??=1对称。
∵C（0，3），∴M（2，3）。 过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN=3。 ∴ EN=1。
∴ EM?EN?MN22?1+2??32?2。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，23) 。 ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1， ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，△EPM为等腰三角形。
233233) ）时，
7.
（2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营 养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．
(1)至少需要购买甲种原料多少千克?
(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少?
【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20，
解得x≥8。
∴至少需要购买甲种原料8千克。
（2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即y=4x+100，
∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大。 ∵x≥8，∴当x=8时，y最小。
∴购买甲种原料8千克时，总费用最少。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。
【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。
（2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少。
8. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=
14x + 1(如图所示)．
2
(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；
(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角 形，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在， 直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． ．．
【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。
∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO=90°－60°=30°。
（2）