∴AB=2OA=4。∴PB=4。 把y=4代入y=
14x2+1，得 x=±23。
∴点P的坐标为（23，4）或（－23 ，4）。 （3）存在。所有满足条件的点N的坐标为 ．．(3，1)， (-3，-1)， (-3，1)， (3，-1)。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。 【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点
的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标。
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即
可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：
设存在点M使得OAMN是菱形，
∵∠OAP＞90，∴OA不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。 若点P的坐标为（23，4），∵点A的坐标为（0，2），
?3?23 k?b?4?k??设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，则?，解得： ?3。
??b?2?b?2 ?0
∴AP所在直线的解析式为：y=33x+2。
33∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：（m， 如图，作MH⊥y轴于点H， 则MH= m，AN=OH－OA=33m+2）。
m+2－2=33m。
∵OA为菱形的边，∴AM=AO=2。
∴在Rt△AMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（33m）2=22，
解得：m=±3。∴M（3，3）或（－3，1）。
当M（3，3）时，N（3，1）；当M（－3，1）时，N（－3，－1）。 若点P的坐标为（－23，4），同理可得N的坐标为（－3，1）或（3，－1）。
综上所述，存在点N（3，1），（－3，－1），（－3，1），（3，－1），使得
四边形OAMN是菱形。
9. （2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D 的坐标；
(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
2
【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴?
?9a＋3b＝0?16a＋4b＝4
，解得：?
?a＝1?b＝－3
。
∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。
(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1。 ∴直线OB的解析式为y＝x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。 ∵点D在抛物线y＝x－3x上，∴可设D(x，x－3x)。
又点D在直线y＝x－m上，∴ x－3x ＝x－m，即x－4x＋m＝0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。
(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
2
2
2
2
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。 设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)， 1
∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。
41
∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。
4∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。
12
∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x－3x上，
413
∴ n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。
44345∴ 点N的坐标为(－，)。
416
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 345
则N1(－，－)，B1(4，－4)。
416∴O、D、B1都在直线y＝－x上。
∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。 ∴
OP1OD1345＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。 ON1OB12832
453将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。
328345453
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。
832328
10.
（2012福建泉州9分）国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）
与正常运营时间x（单位：天）之间分别满足关系式：y0?ax、y1?b?50x，如图所示. 试根据图像解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.
（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？
【答案】解：（1）90； 4000；100。
（2）依题意，得y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000
解得x?200。
答：200天后节省燃料费40万元。 【考点】一次函数和一元一次方程的应用。
【分析】（1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本。
（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，从而得出
y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000，得出即可。
11. （2012福建泉州14分）如图，点O为坐标原点，直线l绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数y?14x?h交于不同的两点P、Q.
2（1）求h的值；
（2）通过操作、观察算出△POQ面积的最小值（不必说理）；
（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.
【答案】解：（1）∵二次函数y? ∴h=1。
（2）操作、观察可知当直线l∥x轴时，其面积最小； 将y=2带入二次函数y? ∴ S最小=（2×4）÷2=4。
（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，
依题意，设抛物线y?114x?1上的点 1214x?h的图象经过C（0,1），
2
14x?1中，得x??2，
2P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b）。
44直线BC：y=k1x+1过点P， ∴a2?1=ak1+1，得k1=a。
4411∴直线BC：y=ax+1
41令y=0得：xB=?4a
过点A的直线l：y=k2x+2经过点P、Q，
∴a2?1?ak2?2?①，b2?1=bk2?2?②。
4411①×b-②×a得：（a2b?b2a）?b?a?2（b?a），化简得：b=?414a。
∴点B与Q的横坐标相同。∴BQ∥y轴，即BQ∥OA。 又∵AQ与OB不平行，∴四边形AOBQ是梯形。 根据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同。
若l与x轴平行，由OA=2，BQ=2，OB=2，AQ=2，且∠AOB=900，得四边形AOBQ是正方形。 故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四
边形AOBQ是正方形。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。
（2）操作、观察可得结论。实际上，由P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b），可求得b=?44114a（参见（3））。
∴S?POQ?12???OA?|??a|?（?）?（?a）=??2aa?1444a??a?+4 ??2OA?xQ?xP??∴当?=?a即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小。
a4即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。
（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根
据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。