显然，恒Yij等于Yji。互导纳的这些性质决定了节点导纳矩阵是一个对称稀疏矩阵。而且，由于每个节点所连接的支路数总有一个限度，随着网络中节点数的增加非零元素相对愈来愈少，节点导纳矩阵的稀疏度，即零元素数与总元素的比值就愈来愈高。
2.2.3 节点导纳矩阵的性质及意义
节点导纳矩阵的性质：
（1）YB为对称矩阵，Yij=Yji。如网络中含有源元件，如移相变压器，则对称性不再成立。
（2）YB对无接地支路的节点，其所在行列的元素之和均为零，即
?Yj?1ni,j?0,?Yj,i?0。对于有接地支路的节点，其所在行列的元素之和等于
i?1n该点接地支路的导纳。利用这一性质，可以检验所形成节点导纳矩阵的正确性。
（3）YB具有强对角性：对角元素的值不小于同一行或同一列中任一元素。 （4）YB为稀疏矩阵，因节点i ，j 之间无支路直接相连时Yij=0，这种情况在实际电力系统中非常普遍。矩阵的稀疏性用稀疏度表示，其定义为矩阵中的
2零元素与全部元素之比，即 S?Z/n， 式中Z 为YB中的零元素。S 随节点数n
的增加而增加：n=50，S可达92%；n=100，S 可达90%；n=500，S可达99%，充分利用节点导纳矩阵的稀疏性可节省计算机内存，加快计算速度，这种技巧称为稀疏矩阵。
节点导纳矩阵的意义：
YB是n*n阶方阵，其对角元素 Yii(i=1，2，----n)称为自导纳，非对角元素
Yij(i，j=1，2，n， i?j)称为互导纳。将节点电压方程IB?YBUB展开为：
?I1??Y11Y12????I2???Y21Y22????????In????Yn1Yn2可见 Yii?Ii/Ui(Uj?0,i,j?1,2,Y1n??U1????Y2n??U2???? （2-37） ???Ynn???Un?,n,i?j) (2-38)
表明，自导纳Yii在数值上等于仅在节点i施加单位电压而其余节点电压均为零（即其余节点全部接地）时，经节点i注入网络的电流。其显然等于与节点i直接相连的所有支路的导纳之和。同时可见Yij?Ii/Uj(Ui?0,i,j?1,2,
n,j?i)。表明，
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互导纳在数值上等于仅在节点j施加单位电压而其余节点电压均为零时，经节点i注入网络的电流，其显然等于(?yij)即Yij=?yij。yij为支路的导纳，负号表示该电流流出网络。如节点ij之间无支路直接相连，则该电流为0，从而Yij=0。
注意字母几种不写法的不同意义：粗体黑字表示导纳矩阵，大写字母Yij代矩阵YB中的第i行第j列元素，即节点i和节点j之间的互导纳。小写字母i，j支路的导纳等于支路阻抗的倒数数，yij?1/Zij。
根据定义直接求取节点导纳矩阵时，注意以下几点：
1) 节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除去参考节点外的节点数。参考节点一般取大地，编号为零。
2) 节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零非对角元素就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。
3) 节点导纳矩阵的对角元素就等于各该节点所连接导纳的总和。因此，与没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元素为非对角元素之和的负值。
4) 节点导纳矩阵的非对角元素等于连接节点i，j支路导纳的负值。因此，一般情况下，节点导纳矩阵的对角元素往往大于非对角元素的负值。
5) 节点导纳矩阵一般是对称矩阵，这是网络的互易特性所决定的。从而，一般只要求求取这个矩阵的上三角或下三角部分。
2.2.4网络中节点的分类
考虑到各种约束条件后，有时，对某些节点，不是给定控制变量PGi、QGi而留下状态变量Ui、?i待求，而是给定这些节点的PGi和Ui而留下QGi和?i待求。这其实意味着让这些电源调节他们发出的无功功率QGi以保证与之联结的节点电压
Ui为定值。
这样，系统中的节点就因给定变量的不同而分为三类。
QLi和等值电源功率PGi、第一类称PQ节点。对于这类节点，等值负荷功率PLi、
QGi是给定的，从而注入功率Pi、Qi是给定的，待求的是节点电压的大小Ui和相
位角?i。属于这一类节点的有按给定有功、无功功率发电厂母线和没有其他电源的变电所母线。
第二类称PV节点。对这类节点，等值负荷和等值电源的有功功率PLi、PGi是给定的，从而注入有功功率Pi是给定的。等值负荷的无功功率QLi和节点电压的大小Ui也是给定的。待求的则是等值电源的无功功率QGi，从而注入无功功率Qi和节点电压的相位角?i。有一定无功功率储备的发电厂和有一定无功功率电源的变电所母线都可选作为PV节点。
第三类称平衡节点。潮流计算时，一般只设一个平衡节点。对这节点，等值负荷功率PLs、QLs是给定的，节点电压的大小和相位角Us、?s也是给定的，如给
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定Us?1.0、?s?0。待求的则是等值电源功率PGs、QGs，从而注入功率Ps、Qs。担负调整系统频率任务的发电厂母线往往被选为平衡节点。
进行计算时，平衡节点是不可少的，；PQ节点是大量的；PV节点较少，甚至可能没有。
如将这种分类方法衡量，可见在那些面向手算的计算方法中，节点只分两类，即PQ节点和平衡节点。前者包含所有负荷节点和发给定功率的电源节点，后者则是起平衡作用的电源节点。手算时之所以不设PV节点，是由于设置这类节点后，就不免要以试探法求解，而就手算而言，这将不胜负担。
2.2.5潮流计算的约束条件
电力系统运行必须满足一定的技术和经济上的要求。这些要求构成了潮流问题中某些变量的约束条件，常用的约束条件如下：
①节点电压应满足小于节点最大额定电压并大于最小额定电压，即：
Vimin?Vi?Vimax(i?1,2,n) (2-39)
从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近。PV节点电压幅值必须按上述条件给定。因此，这一约束条件对PQ节点而言。
②节点的有功功率和无功功率应满足小于节点最大额定功率并大于最小额定功率，即：
?PGimin?PGi?PGimax??QGimin?QGi?QGimax(2-40)
PQ节点的有功功率和无功功率，以及PV节点的有功功率，在给定时就必须满足上述条件，因此，对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q应按上述条件进行检验。
③节点之间电压的相位差应满足小于最小额定相角差，即：
|?ij|?|?i??j|?|?i??j|max (2-41)
为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位不超过一定的数值。这一约束的主要意义就在于此。
因此，潮流计算可以归结为求解一组非线性方程组，并使其解答满足一定的约束条件。常用的方法是迭代法和牛顿法，在计算过程中，或得出结果之后用约
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束条件进行检验。如果不能满足要求，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统的运行方式，重新进行计算。
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第三章 复杂电力系统潮流计算的计算机算法
3.1牛顿拉夫逊法简介
3.1.1潮流计算时的修正方程式
牛顿型潮流计算的核心问题是修正方程式的建立和求解。为说明这一修正方程的建立过程，先对网络中各类节点的编号做如下规定：
（1）网络中共有n个节点，编号为1，2，3，...，n，其中包含一个平衡节点s；
（2）网络中共有（m-1）个PQ节点，编号为1，2，3，...，m，其中包含编号为s的平衡节点；
（3）网络中有（n-m）个PV节点，编号为m+1，m+2，...，n。 据此，在方程组
（Ge??eij?1jnijj-Bijfj）?f（?Pi （3-1a）iGijfj?Bijej）
?
??f(Geij?1j?nijj-Bijfj）-e（?QiiGijfj?Bijej）? （3-1b）
222e?f?U i ii （3-1c）
中共有2(n-1)个独立方程式。其中式（3-1a）类型的有（n-1）个，包括平衡节点外所有几点有功功率Pi的表示式，即i=1,2，...，n，i≠s；式（3-1b）类型的有（m-1）个，包括所有PV节点无功功率Qi的表示式，即i=1,2，...，n，i≠s；式（3-1c）类型的有（n-1）-（m-1）=n-m个，包括所有PV节点电压Ui2的表示式，即i=m+1,m+2,...，n。平衡节点s的功率和电压之所以不包括在这方程组内，是由于平衡节点的注入功率不可能事先给定，从而不可能列出相应的Ps、
Qs的标识号，而平衡节点的电压Us?es?jfs，则不必求取。至此，可建立修正方程式如下：
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